Zapisz jako PDF

Funkcje i ich granice
Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa;
kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
wykładnicza i logarytmiczna.
Funkcja wykładnicza — kilka dopowiedzeń
Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych
Mówiąc o funkcji wykładniczej , wykładowca prześlizgnął się nad problemem definicji tejże dla
niewymiernych (było konsekwentnie powiedziane jedynie, jak się liczy wartość
dla
). Teraz
będzie o tym dopowiedzenie. "Szkolny" sposób wprowadzenia potęgi
dla niewymiernych polegał
zazwyczaj na zdefiniowaniu
jako granicy
, gdzie
był jakimś ciągiem monotonicznym
liczb wymiernych zbieżnym do (np. ciągiem przybliżeń dziesiętnych ).
W wykładzie szkolnym zazwyczaj nie dowodziło się istnienia granicy tego ciągu, poprzestając na
argumentach intuicyjnych. Uzbrojeni w twierdzenia o granicach ciągów, możemy łatwo pokazać
istnienie granicy
:
Otóż jeśli
jest ciągiem monotonicznym, to taki jest też
ciąg
; jest to ponadto ciąg ograniczony, więc zbieżny.
Funkcja wykładnicza o podstawie
Okazuje się dogodne (z przyczyn, które staną się jasne niedługo) wziąć w definicji funkcji
wykładniczej
. Funkcja odwrotna do , tzn.
, nazywa się logarytmem naturalnym[1].
Granica funkcji w punkcie
Definicja Heinego
Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie (co oznaczamy:
) jeżeli dla
każdego ciągu { } zbieżnego do i o wyrazach różnych od zachodzi równość:
Przykład
. Weźmy bowiem dowolny ciąg {
} zbieżny do zera; mamy:
Przykład
Rozważmy funkcję
Funkcja sgn
, definiowaną jako:
nie posiada granicy w punkcie
oraz
. Weźmy teraz drugi ciąg
więc
. Weźmy bowiem:
; mamy
; mamy
oraz
nie istnieje.
Można jednak mówić tu o granicy jednostronnej w punkcie .
Granica jednostronna
Liczbę
nazywamy granicą lewostronną (prawostronną) funkcji
i
(odpowiednio
) implikują
w punkcie , jeśli warunki:
. Sytuacje te oznaczamy
symbolami:
— granica lewostronna i
— granica prawostronna.
W ten sposób, mamy
Przykład (c.d.)
Symbolu
używamy również na oznaczenie granicy niewłaściwej:
Przykład
Mamy:
; natomiast
Przykład
nie istnieje; natomiast:
, tak
Przykład
Podobnie:
nie istnieje; natomiast:
Funkcje bez jednostronnych granic
Istnieją jednak funkcje, które nie posiadają nawet jednostronnych granic (właściwych, ani
niewłaściwych). Należy do nich np. funkcja:
W punkcie
nie posiada ona jednostronnej granicy (ani lewo-, ani prawostronnej). Aby pokazać
nieistnienie granicy prawostronnej, weźmy dwa ciągi
,
,
o wyrazach dodatnich:
. Oba ciągi są zbieżne do zera.
Mamy
i podobnie
Widzimy, że nie istnieje granica prawostronna w zerze (podobnie przekonujemy się, że nie istnieje
też granica lewostronna).
Prócz granicy funkcji dla skończonego , rozważamy też granicę w nieskończoności.
Granica w nieskończoności
Mówimy, że granicą funkcji
każdego ciągu {
Przykład
Mamy:
} takiego, że
w nieskończoności jest liczba
zachodzi:
(ozn.
), jeżeli dla
.
Przykład
Funkcje trygonometryczne:
nie posiadają granic w
.
Działania na granicach
Twierdzenie
Przy założeniu, że granice
i
Wzory te pozostają też prawdziwe, jeśli
istnieją i są skończone, zachodzą wzory:
jest
, jak też są prawdziwe dla granic jednostronnych.
Dowód
Dowody są takie same jak dla granic ciągów z poprzedniego rozdziału.
Analogony twierdzeń z rozdziału o granicach ciągów
Mamy też analogony innych twierdzeń dla granic ciągów:
Twierdzenie
Jeśli granice
nierówność
nierówności
i
istnieją, to
implikuje
wraz z równością
implikują
Jak poprzednio, wzory te są też prawdziwe dla
Dowód
Dowody są analogiczne jak w przypadu granic ciągów.
CBDO
oraz dla granic jednostronnych.
Kilka warunków dostatecznych istnienia granicy
Najsampierw przenieśmy definicję ciągu ograniczonego na funkcje:
Ograniczenie funkcji
Mówimy, że funkcja
jest ograniczona z góry (dołu), jeżeli istnieje taka stała
, że dla każdego
z dziedziny zachodzi:
(odpowiednio
). Wśród różnych analogonów na istnienie
granic ciągów i funkcji, mamy następujący odpowiednik twierdzenia o zbieżności ciągów
monotonicznych ograniczonych:
Twierdzenie
Jeśli funkcja jest niemalejąca i ograniczona z góry, to istnieje granica
dla dowolnego .
Uwaga
Niezbędne jest tu założenie o monotoniczności funkcji. Dla funkcji niemonotonicznych twierdzenie to
nie zachodzi — przypomnijmy sobie przykład funkcji
.
Dowód
Ciąg
jest rosnący, a stąd ciąg
ograniczony, to jest zbieżny. Niech
jest niemalejący; a ponieważ jest też
Pozostaje pokazać, że przy narzuceniu warunków:
Weźmy jakieś
, żeby dla
skąd
. Istnieje wówczas
zachodziła nierówność
oraz
takie, że
zachodzi
. Mając to
. Stąd
bierzemy takie
Jednocześnie: Ponieważ
, to dla każdego
istnieje
takie, że
. Mamy stąd
Z obu nierówności: (1) i (2) mamy:
CBDO
Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych
W analogiczny sposób dowodzi się twierdzeń dla funkcji nierosnących oraz dla granic
prawostronnych. Można to podsumować jako
Tw.Jeśli funkcja jest nierosnąca lub niemalejąca i ograniczona, to granice
punkcie . Dla
, istnieje granica
istnieją w każdym
.
CBDO
Zachodzi też twierdzenie w pewnym sensie odwrotne:
Twierdzenie XX
Jeśli funkcja
nie posiada granicy skończonej w punkcie , to istnieje ciąg {
oraz ciąg
} taki, że
jest rozbieżny.
Bez dowodu.
Definicja Cauchy'ego
Prócz definicji Heinego, jest jeszcze jedna, inna ale równoważna, i równie ważna, definicja
Cauchy'ego.
Def. Mówimy, że funkcja
posiada w punkcie
granicę , jeżeli
A oto obiecana równoważność:
Twierdzenie XXX
Obie definicje granicy funkcji w punkcie: Cauchy'ego i Heinego są równoważne.[2]
,
Dowód
Przypuśćmy najsampierw, że warunek Cauchy'ego nie jest spełniony, tzn.
W szczególności, biorąc
, wnioskujemy, że istnieje ciąg {
} taki, że
oraz
Warunek (3) mówi, że
oraz
. Gdyby więc przypuścić, że
musiałaby być spełniona równość
, to
; ale ta równość jest sprzeczna z (4).
Pokazaliśmy w ten sposób, że warunek Cauchy'ego jest konieczny, aby funkcja posiadała granicę w
myśl definicji Heinego.
Teraz pokażemy, że jest on również warunkiem wystarczającym.
Niech będzie dane
i niech
jest spełniony, to istnieje
oraz
. Ponieważ z założenia warunek Cauchy'ego
takie, że nierówność:
implikuje
Ponieważ spełniona jest równość
, to nierówność
dostatecznie dużych (tzn. począwszy od pewnego
). Dla tych
, a to znaczy, że
— czyli
.
zachodzi dla wszystkich
mamy więc nierówność
.
Twierdzenie XXXX
W teorii ciągów mieliśmy warunek Cauchy'ego dla ciągów, którego spełnienie gwarantowało
zbieżność ciągu. Przy granicy funkcji mamy analogiczne twierdzenie.
Tw.XXXX Warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie (skończonej) granicy funkcji
punkcie
zachodzi:
jest, aby dla dowolnego
istniało takie
, że dla
w
spełniających:
.
Dowód
Pokażemy najsampierw konieczność tego warunku. Jeśli
, to dla dowolnego zadanego
istnieje takie
, że warunek:
warunki (5) są spełnione, to zachodzą nierówności:
implikuje
. Jeśli więc
i po dodaniu tychże pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymujemy
.
Jeśli chodzi o dostateczność warunku, to przypuśćmy, że granica funkcji w punkcie nie istnieje,
mimo iż są spełnione założenia tw. XXXX. Istnieje wówczas na mocy tw. XX taki ciąg { }, że
,
oraz że ciąg
jest rozbieżny. Z równości
istnieje takie , że dla
można w nierównościach (5) podstawić
i
wynika, że
. To implikuje,
że
. Z twierdzenia Cauchy'ego dla ciągów wnioskujemy stąd, że ciąg
jest zbieżny — wbrew naszemu przypuszczeniu.
CBDO
Twierdzenie XXX'
Powyższe twierdzenia XXX i XXXX dają się rozszerzyć na przypadek
następująco:
. Brzmią one wtedy
Tw.XXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby zachodziła równość
aby
jest,
Twierdzenie XXXX'
Tw.XXXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby istniała granica (skończona)
, jest, aby
Dowody twierdzeń XXX' i XXXX'
Dow. Dowody są analogiczne jak twierdzeń XXX i XXXX. CBDO
1. ↑ Wprowadzono je w XVII w., a pierwsi zrobili to Napier i Bernoulli.
2. ↑ tzn. jeśli funkcja w jakimś punkcie ma granicę w myśl def. Cauchy'ego, to ma ją też zgodnie
z def. Heinego i na odwrót; a jeśli nie ma w myśl def. Cauchy'ego to nie ma też z def. Heinego i
na odwrót.