II kolokwium z topologii

II kolokwium z topologii
17.06.2014
Grupa A
1. Niech d będzie metryką na prostej R, taką że (R, d) jest przestrzenią metryczną
zupełną. Sprawdzić, czy R jest też zupełna z metryką
ρ(x, y) = arc tg d(x, y)
Sformułować definicje przestrzeni zupełnej i ciągu Cauchy’ego.
Odpowiedź: Ciąg (xn ) jest ciągiem Cauchy’ego w metryce d, gdy dla każdego > 0
istnieje N ∈ N, takie że dla dowolnych m, n ­ N zachodzi d(xm , xn ) < .
Przestrzeń metryczna (X, d) jest zupełna, gdy każdy ciąg Cauchy’ego jest w tej przestrzeni zbieżny.
Idea rozwiązania:Musimy pokazać, że każdy ciąg Cauchy’ego w przestrzeni (X, ρ)
jest zbieżny w metryce ρ (lub znaleźć rozbieżny ciąg Cauchy’ego).
Właściwe rozwiązanie: Niech (xn ) będzie Cauchy’ego w (X, ρ). Ustalmy > 0.
Z warunku Cauchy’ego dla ciągu (xn ) znajdujemy N takie, że dla m, n ­ N zachodzi
ρ(xm , xn ) = arc tg d(xm , xn ) < arc tg .
Wtedy dla m, n ­ N mamy d(xm , xn ) < , czyli (xn ) jest Cauchy’ego w (R, d). Z
zupełności przestrzeni (R, d) ciąg ten jest zbieżny w metryce d do pewnej granicy g,
tzn. limn→∞ d(xn , g) = 0. Ale wtedy również
lim ρ(xn , g) = n→∞
lim arc tg d(xn , g) = 0,
n→∞
czyli (xn ) jest zbieżny w metryce ρ.
2. Sformułować definicję zbioru zwartego w przestrzeni metrycznej i jeden warunek
równoważny zwartości.
Uzasadnić, że suma skończenie wielu zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.
Odpowiedź: Zbiór K jest zwarty, gdy z każdego ciągu (xn ) elementów K, można
wybrać podciąg (xnk ) zbieżny do pewnego x ∈ K.
Warunki równoważne to na przykład:
K jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każde pokrycie tego zbioru otwartymi zawiera podpokrycie skończone (tzn. z dowolnej, nawet nieprzeliczalnej, rodziny zbiorów
otwartych, których suma zawiera K, można wybrać skończenie wiele zbiorów, tak by
ich suma również zawierała K).
K jest zwarty w (X, d), gdy jest całkowicie ograniczony i przestrzeń (K, d) jest zupełna.
Uwaga: domkniętość i ograniczoność jest równoważna zwartości w Rn , ale nie ogólnie!
Idea rozwiązania: Musimy z ciągu (xn ) elementów sumy zbiorów K1 ∪ ... ∪ Km
wybrać podciąg zbieżny.
Właściwe rozwiązanie: Niech K1 , ..., Km będą zwarte i niech (xn ) będzie ciągiem
elementów sumy K1 ∪ · · · ∪ Km . Ponieważ zbiorów Ki jest skończenie wiele, któryś
z nich, powiedzmy Ki0 , musi zawierać nieskończenie wiele elementów ciągu, czyli
jego podciąg (xnk ). A ponieważ Ki0 jes zwarty, (xnk ) ma podciąg zbieżny do granicy
g ∈ Ki0 . Ten podciąg jest jednocześnie szukanym podciągiem ciągu (xn ).
3. Niech f : X → Y będzie funkcją ciągłą. Udowodnić, że wykres funkcji f , tzn. zbiór
Γf = {(x, y) : y = f (x)}, jest domknięty w produkcie X × Y .
Czy może mieć niepuste wnętrze?
(Można przyjąć, że w X × Y obowiązuje metryka maksimum: ρ (x, y), (x0 , y 0 ) =
max dX (x, x0 ), dY (y, y 0 ) , gdzie dX , dY są metrykami odpowiednio w X i Y .)
Idea rozwiązania: Należy pokazać, że jeśli ciąg (xn , yn ) elementów Γf jest zbieżny,
to jego granica również należy do Γf
Właściwe rozwiązanie: Niech (xn , yn ) będzie ciągiem elementów Γf zbieżnym
do (x, y). To oznacza, że limn→∞ xn = x i limn→∞ yn = y. Z ciągłości f mamy
limn→∞ f (xn ) = f (x). Jednocześnie limn→∞ yn = y. A ponieważ yn = f (xn ), z jedyności granicy otrzymujemy y = f (x), czyli (x, y) ∈ Γf .
Tak, może mieć niepuste wnętrze – wszystko zależy od metryki. Jeśli w X i w Y
przyjmiemy metrykę dyskretną, to w produkcie również metryka jest dyskretna, więc
wszystkie zbiory są otwarte, w tym Γf .
II kolokwium z topologii
17.06.2014
Grupa B
1. Sformułować definicję zbioru zwartego w przestrzeni metrycznej i jeden warunek
równoważny zwartości.
Uzasadnić, że jeśli A jest zwarty w przestrzeni X, a B jest zwarty w przestrzeni Y ,
to A × B jest zwarty w X × Y .
(Można przyjąć, że w X × Y obowiązuje metryka maksimum: ρ (x, y), (x0 , y 0 ) =
max dX (x, x0 ), dY (y, y 0 ) , gdzie dX , dY są metrykami odpowiednio w X i Y .)
Odpowiedź: Zbiór K jest zwarty, gdy z każdego ciągu (xn ) elementów K, można
wybrać podciąg (xnk ) zbieżny do pewnego x ∈ K.
Warunki równoważne to na przykład:
K jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każde pokrycie tego zbioru otwartymi zawiera podpokrycie skończone (tzn. z dowolnej, nawet nieprzeliczalnej, rodziny zbiorów
otwartych, których suma zawiera K, można wybrać skończenie wiele zbiorów, tak by
ich suma również zawierała K).
K jest zwarty w (X, d), gdy jest całkowicie ograniczony i przestrzeń (K, d) jest zupełna.
Uwaga: domkniętość i ograniczoność jest równoważna zwartości w Rn , ale nie ogólnie!
Idea rozwiązania: Musimy z ciągu (xn ) elementów produktu A × B wybrać podciąg zbieżny.
Właściwe rozwiązanie: Niech (xn ) będzie ciągiem elementów produktu A × B,
przy tym xn = (an , bn ), gdzie an ∈ A i bn ∈ B. Ze zwartości A, z ciągu (an ) pierwszych
współrzędnych możemy wybrać podciąg (ank ) zbieżny do pewnego a ∈ A. Odpowiedni podciąg (bnk ) drugich współrzędnych nie musi być zbieżny, ale dzięki zwartości B
ma podciąg (xnkl ) zbieżny do pewnego b ∈ B. Wtedy xnkl = (ankl , bnkl ) jest zbieżny
do (a, b).
2. Niech f i g : X → R będą funkcjami ciągłymi. Udowodnić, że zbiór {x : f (x) = g(x)}
jest domknięty.
Czy możliwe, by zbiór ten był domknięty, mimo że tylko jedna z funkcji f , g jest
ciągła?
Idea rozwiązania: Należy pokazać, że jeśli ciąg (xn ) elementów zbioru A = {x :
f (x) = g(x)} jest zbieżny, to jego granica również należy do A.
Właściwe rozwiązanie: Niech (xn ) będzie ciągiem elementów A = {x : f (x) =
g(x)}, zbieżnym do x. Z ciągłości f mamy limn→∞ f (xn ) = f (x) oraz limn→∞ g(xn ) =
g(x). A ponieważ f (xn ) = g(xn ), z jedyności granicy otrzymujemy f (x) = g(x), czyli
x ∈ A.
Tak, może być domkniety – wszystko zależy od metryki. Jeśli w X przyjmiemy
metrykę dyskretną, to wszystkie zbiory są domknięte, w tym nasz A.
3. Niech d będzie metryką na prostej R, taką że (R, d) jest przestrzenią metryczną
zupełną. Sprawdzić, czy R jest też zupełna z metryką
ρ(x, y) = min(1, d(x, y))
Sformułować definicje przestrzeni zupełnej i ciągu Cauchy’ego.
Odpowiedź: Ciąg (xn ) jest ciągiem Cauchy’ego w metryce d, gdy dla każdego > 0
istnieje N ∈ N, takie że dla dowolnych m, n ­ N zachodzi d(xm , xn ) < .
Przestrzeń metryczna (X, d) jest zupełna, gdy każdy ciąg Cauchy’ego jest w tej przestrzeni zbieżny.
Idea rozwiązania:Musimy pokazać, że każdy ciąg Cauchy’ego w przestrzeni (X, ρ)
jest zbieżny w metryce ρ (lub znaleźć rozbieżny ciąg Cauchy’ego).
Właściwe rozwiązanie: Niech (xn ) będzie Cauchy’ego w (X, ρ). Ustalmy > 0
i niech < 1. Z warunku Cauchy’ego dla ciągu (xn ) znajdujemy N takie, że dla
m, n ­ N zachodzi
ρ(xm , xn ) = min(1, d(xm , xn )) < .
Jeśli ­ 1, to znajdujemy N dla 1 i wtedy ρ(xm , xn ) < 1 implikuje d(xm , xn ) =
ρ(xm , xn ) < 1. Tak czy inaczej, dla m, n ­ N mamy d(xm , xn ) < , czyli (xn ) jest
Cauchy’ego w (R, d). Z zupełności przestrzeni (R, d) ciąg ten jest zbieżny w metryce
d do pewnej granicy g, tzn. limn→∞ d(xn , g) = 0. Ale wtedy również
lim ρ(xn , g) = lim min(1, d(xn , g)) = 0,
n→∞
czyli (xn ) jest zbieżny w metryce ρ.
n→∞