Wykład 7 1. Przestrzenie zupełne – podstawowe informacje

Wykład 7
1. Przestrzenie zupełne – podstawowe informacje.
Definicja 1. Przestrzeń metryczna jest zupełna, gdy każdy ciąg spełniający warunek Cauchy’ego jest ciągiem zbieżnym.
Niektóre ważne przestrzenie zupełne to: Rn dla wszystkich n, [0, 1] (i wszystkie odcinki
domknięte) z naturalną metryką, C([0, 1]) (patrz ćwiczenia).
Twierdzenie 1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Zbiór A jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy, gdy (A, d) jest przestrzenią metryczną zupełną.
Dowód. Załóżmy, że A jest domknięty. Niech (xn ) będzie ciągiem elementów A spełniającym
warunek Cauchy’ego. Jako ciąg w X jest on zbieżny do pewnego x ∈ X. A z domkniętości
A mamy x ∈ A, więc (xn ) jest zbieżny w (A, d).
Aby udowodnić odwrotne wynikanie, weźmy dowolny x ∈ X będący punktem skupienia
A. Wtedy istnieje ciąg (xn ) elementów A zbieżny do x. Ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego w X, a także w A, więc ma granicę a w przestrzeni (A, d). Jest to jednocześnie
granica w X i z jedyności granicy x = a ∈ A.
Twierdzenie 2. Jeśli (X, dX ) jest dowolną przestrzenią metryczną, a (Y, dY ) przestrzenią
zupełną, to przestrzeń C(X, Y ) wszystkich ciągłych i ograniczonych funkcji f : X → Y jest
zupełna w metryce
ρ(f, g) = sup dY f (x), g(x) .
x∈X
Dowód. Dowód jak w przypadku szczególnym C(0, 1) dyskutowanym na ćwiczeniach.
2. Twierdzenie Cantora
Oznaczmy przez diam(F ) średnicę zbioru F .
Twierdzenie 3 (Cantor). Niech przestrzeń metryczna (X, d) będzie zupełna, i niech (Fn )
będzie zstępującym ciągiem zbiorów domkniętych spełniającym warunek
lim diam(Fn ) = 0.
n→∞
Wtedy
T∞
n=1 Fn
6= φ.
Uwaga.
1. Najpierw wyjaśnienie – założenie lim diam(Fn ) = 0 wydaje się sztuczne, bo przecież
n→∞
jest to żądanie ograniczenia wielkości zbiorów. Ale bez niego teza leży, np. X = R,
Fn = [n, ∞).
2. Skoro jesteśmy na etapie sprawdzania istotności założeń, to odnotujmy, że
(a) gdyby przestrzeń nie była zupełna, to tezę obala przykład X = (0, 1), Fn =
(0, n1 ], (pozostałe założenia są spełnione)
(b) gdyby Fn nie były domknięte, to tezę obala przykład X = R, Fn = (0, n1 ).
3. W istocie ∞
lim diam(Fn ) = 0 (ale to
n=1 Fn jest jednoelementowy, dzięki założeniu n→∞
efekt uboczny).
T
1
4. Prawdziwe jest twierdzenie odwrotne, ale o nim za chwilę.
Dowód. Z każdego Fn wybieramy jeden element xn . Ciąg (xn ) ma tę własność, że dla
kazdego n ­ m zachodzi xn ∈ Fm . Ponadto, (xn ) jest Cauchy’ego (tu wykorzystujemy
założenie lim diam(Fn ) = 0), zatem jest zbieżny do pewnego x. Z domkniętości Fm mamy
n→∞
T
x = lim xm+n ∈ Fm dla każdego m. Zatem x ∈ n Fn .
n→∞
Twierdzenie 4 (odwrotne do twierdzenia Cantora). Jeśli dla każdego zstępującego ciągu
T
zbiorów domkniętych spełniających warunek lim diam(Fn ) = 0 przekrój ∞
n=1 Fn 6 jest
n→∞
niepusty, to X jest zupełna.
Szkic dowodu. Niech (xn ) będzie ciągiem Cauchy’ego. Zdefiniujmy Fn = {xn , xn+1 , ...}.
Wtedy Fn są domknięte, tworzą ciąg zstępujący i spełniają warunek lim diam(Fn ) =
n→∞
n→∞
0 (bo z warunku Cauchy’ego diam{xn , xn+1 , ...} −→ 0, a diam(A) = diam(A)). Zatem
T
n Fn = {x} i ten x jest granicą ciągu (xn ).
3. Twierdzenie Hausdorffa o uzupełnianiu przestrzeni metrycznych.
Wiemy, że homeomorfizm nie przenosi zupełności (inaczej: zupełność nie jest własnością
topologiczną). Ale są przekształcenia, bardziej właściwe przestrzeniom metrycznym, które
zupełność przenoszą.
Definicja 2. Izometria to przekształcenie f : X → Y spełniające dla każdej pary x, y ∈ X
warunek
dX (x, y) = dY (f (x), f (y)).
Izometrie są przekształeniami różnowartościowymi. Łatwo udowodnić, że:
Twierdzenie 5. Zupełność jest niezmiennikiem izometrii.
Czy przestrzeń nie-zupełną można uzupełnić, tzn. dodać jej punktów tak, by była przestrzenią zupełną? Otóż tak, pod warunkiem, że przestrzenie izometryczne będziemy traktować jako nierozróżnialne.
Definicja 3. Uzupełnieniem przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy przestrzeń metrycz˜ taką, że (X, d) jest izometryczna z gęstą podprzestrzenią (X̃, d),
˜ tzn. istnieje
ną (X̃, d)
izometria π : X → X̃ taka, że π(X) jest gęsty w X̃. Często jako uzupełnienie definiuje się
parę: przestrzeń zupełną jak wyżej wraz z odpowiednią izometrią.
Jeśli przestrzeń X ma uzupełnienie, to jest ono jedyne z dokładnością do izometrii.
˜ i (Y, ρ) są uzupełnieniami przestrzeni X, to istnieją izometrie π : X →
Istotnie, jeśli (X̃, d)
X̃ i ϕ : X → Y jak w powyższej definicji. Wtedy ϕ ◦ π −1 : π(X) → ϕ− 1(X) jest izometrią
odwracalną między gęstymi podzbiorami X. Można ją przedłużyć do izometrii X̃ na Y .
Z tej jedyności mamy na przykład:
1. Jeśli przestrzeń jest zupełna to jest swoim własnym uzupełnieniem
2. Uzupełnieniem Q jest R.
Twierdzenie 6 (Hausdorff). Każda przestrzeń metryczna ma uzupełnienie.
2
Szkic dowodu. Niech P będzie zbiorem wszystkich ciągów Cauchy’ego w (X, d). Konstruujemy relację równoważności ∼ na P : (xn ) jest w relacji z (yn ), gdy limn→∞ d(xn , yn ) = 0.
Niech X̃ = P/∼ – zbiór klas abstrakcji relacji ∼. Zauważmy, że przestrzeń X można włożyć
w X̃ przypisując punktowi x klasę abstrakcji ciągu stale równego x. Niech odpowiednie
włożenie nazywa się π.
Lemat 1. Granica lim d(xn , yn ) istnieje dla dowolnych ciągów (xn ), (yn ).
n→∞
Dowód.
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ¬ |d(xn , yn ) − d(xn , ym )| + |d(xn , ym ) − d(xm , ym )|
¬ d(yn , ym ) + d(xn , xm ),
a to jest małe dla dostatecznie dużych m i n. Zatem ciąg d(xn , yn ) jest Cauchy’ego w R,
czyli jest zbieżny.
Lemat 2. Jeśli (xn ) ∼ (x0n ) i (yn ) ∼ (yn0 ), to lim d(xn , yn ) = lim d(x0n , yn0 ).
n→∞
n→∞
Dowód.
n→∞
|d(xn , yn ) − d(x0n , yn0 )| ¬ d(xn , x0n ) + d(yn , yn0 ) −→ 0
Możemy więc zdefiniować metrykę (oczywiście trzeba sprawdzić, że to jest metryka) na
X̃ kładąc
d˜ [(xn )], [(yn )] = lim d(xn , yn ).
n→∞
Jasne, że π : X → X̃ jest w tej metryce izometrią. Ponadto, π(X) = X̃. Istotnie, ustalmy
[(xn )] ∈ X̃ i > 0. Jeśli wybierzemy N takie, że dla każdego n > N zachodzi d(xn , xN ) < (z warunku Cauchy’ego), to π(xN ) = [(xN , xN , xN , ...)] i
d˜ π(xN ), [(xn )] = lim d(xN , xn ) < .
n→∞
Ostatnia rzecz:
˜ jest zupełna.
Lemat 3. (X̃, d)
˜
Dowód. Wybieramy ciąg elementów x̃k ∈ X̃ spełniający warunek Cauchy’ego dla metryki d.
k
k
Uwaga, łatwo się zgubić: każdy x̃ jest klasą abstrakcji pewnego ciągu (xn )n∈N podstawowego w X, a wszystkie te x̃k tworzą ciąg podstawowy w X̃. Z podstawowości (x̃k ), dla
˜ km , x̃j ) < 1 ,
każdego m wybieramy indeks km taki, że dla wszystkich j > km zachodzi d(x̃
m
tak by na dodatek km był rosnący. Niech ciąg (xknm )n∈N będzie reprezentantem klasy x̃km .
Ponieważ są to ciągi podstawowe w X, w każdym ciągu można wybrać element xknm
, od
m
1
którego warunek Cauchy’ego zachodzi z = m . Określamy w X ciąg wzorem xm = xknm
.
m
Wystarczy pokazać, że:
1. (xm ) jest Cauchy’ego w X, a wtedy ten ciąg reprezentuje pewną klasę x̃ w X̃,
˜
2. ciąg (x̃k )k∈N zbiega do x̃ w przestrzeni (X̃, d).
Pomijamy te rachunki, ale nie są trudne. Zachęcam do uzupełnienia samodzielnego w domu.
Wskazówki:
3
ad.1) nierówność trójkąta + podstawowość każdego (xkn )n∈N + podstawowość (x̃k )
ad.2) pokazuje się, że (x̃km ) jest podciągiem zbieżnym do x̃, a wtedy cały ciag, jako ciąg
podstawowy, jest zbieżny do x̃.
˜ jest uzupełnieniem (X, d).
Zatem przestrzeń (X̃, d)
Nieco inny dowód, przez zanurzenie przestrzeni X w przestrzeni ciągłych ograniczonych
funkcji rzeczywistych na X można znaleźć np. w książce Engelkinga.
4