Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C

Wykład 1
Tomasz Żak
Instytut Matematyki i Informatyki
C-11, pok. 313,
www.im.pwr.wroc.pl/˜zak
Zasady zaliczenia
• Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny.
• W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów.
• Rozwiązywanie zadań (kartkówka lub przy tablicy): −2, 0, 1 lub 2 punkty za każde.
• 50 punktów zalicza, tabelka ocen na mojej stronie
• Dokładne zasady na mojej stronie internetowej.
Podstawowe pytania rachunku prawdopodobieństwa
• Jakie zdarzenie nazywamy losowym?
• Co to jest prawdopodobieństwo?
• Skąd znamy prawdopodobieństwa zdarzeń?
• Co to znaczy „wybieramy losowo” ...?
Eksperyment losowy Eksperyment (doświadczenie), którego wynikiem mogą być co najmniej dwa
różne zdarzenia i z góry nie potrafimy przewidzieć, które z możliwych zdarzeń się pojawi.
Przykłady (najbardziej klasyczne):
• Rzut monetą.
• Rzut kostką. ←− z tego narodził się rachunek prawdopodobieństwa
• Wyciągnięcie karty z talii (lub kuli z urny).
Dlaczego „urny i kule”
• Określenie losowo nie jest precyzyjne!
• Przy rzucie monetą, kostką, wyciąganiu karty z talii lub kuli z urny NIE MAMY wątpliwości, co to
znaczy „losowo”.
Kiedy wolno stosować rachunek prawdopodobieństwa?
• Doświadczenie MUSI być powtarzalne.
• Albo masowe: narodziny dziecka, wypadki samochodowe itp.
• O pojedynczym zdarzeniu zwykle możemy powiedzieć bardzo niewiele, ale przy 100 powtórzeniach już
dość dużo!
• PYTANIA: Ile orłów otrzymamy w 100 rzutach? Ilu chłopców urodzi się we Wrocławiu w 2008 roku?
1
Czy potrafimy symulować losowy rzut monetą?
• Doświadczenie dla chętnych: rzucamy 200 razy monetą, zapisując wyniki.
• Wymyślamy 200 wyników rzutów monetą.
• Obie serie wyników przedstawiamy wykładowcy: czy zdoła odgadnąć, która seria jest wymyślona?
Opis doświadczenia losowego
• Próbujemy opisać (co nie znaczy WYPISAĆ) wszystkie możliwe wyniki.
• Próbujemy przypisać każdej z tych możliwości pewną liczbę — jej prawdopodobieństwo.
• SKĄD brać te prawdopodobieństwa?
Częstość zdarzenia
• Jaka jest częstość pojawiania się orła w n rzutach monetą?
cn =
liczba orłów w n rzutach
n
• A jaka częstość reszki?
• Jaka jest częstość „szóstki” przy rzutach kostką?
• Jaka jest częstość narodzin dziewczynki, a jaka chłopca?
Co to jest prawdopodobieństwo?
Jako pierwszy na to pytanie odpowiedział Jakub Bernoulli w swojej książce, napisanej w 1695 roku:
Prawdopodobieństwo to stopień przeświadczenia i odnosi się do pewności tak, jak część do całości.
UWAGA: to nie jest definicja matematyczna!
Prawdopodobieństwo 1 =⇒ zdarzenie pojawia się za każdym razem
Prawdopodobieństwo 0 =⇒ zdarzenie nie pojawia się nigdy
Rzut jedną, symetryczną monetą
• Wyniki mogą być tylko dwa: Orzeł lub Reszka — w skrócie O lub R.
• Ponieważ na pewno wypadnie albo O albo R, więc ich łączne prawdopodobieństwo jest równe 1.
• Z symetrii monety wnioskujemy, że prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe
prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki.
1
2,
tak samo
Rzut dwiema monetami
• Jakie mogą być możliwe wyniki?
• Jakie przypisać im prawdopodobieństwa?
• Jeśli masz wątpliwości, jak to opisać, przeprowadź doświadczenia i sprawdź, czy Twój opis pasuje do
rzeczywistości!
2
Zdarzenia złożone – nieelementarne
• Rzucamy jeden raz symetryczną kostką do gry.
• Jakie są możliwe zdarzenia elementarne (czyli wyniki)?
• Ile ich jest?
• Przykłady zdarzeń bardziej złożonych:
•
a) wypadnie parzysta liczba oczek
•
b) wypadną co najmniej 2 oczka
• Ile jest wszystkich możliwych zdarzeń przy rzucie kostką?
Wyniki sprzyjające danemu zdarzeniu
• Przykład: Rzucamy dwa razy kostką. Jakie wyniki sprzyjają zdarzeniu suma oczek będzie większa
niż 8?
• 3+6, 4+5, 4+6, 5+4, 5+5, 5+6, 6+4, 6+5, 6+6.
• Jest ich 9.
• A ile jest wszystkich możliwych wyników przy dwóch rzutach kostką?
• Jak je przekonująco przedstawić graficznie?
• Ile jest wszystkich możliwych zdarzeń przy dwóch rzutach kostką?
Zapis symboliczny
• Wszystkie możliwe wyniki w danym doświadczeniu, zwane też zdarzeniami elementarnymi, oznaczmy symbolem Ω.
• Zdarzenia to podzbiory zbioru Ω, oznaczamy je zwykle początkowymi literami alfabetu, np. A, B, C
itp.
• P (A) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Zapis symboliczny - konkretny przykład
• Trzy rzuty monetą.
• Ω = {OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR}.
• Niech A=„dokładnie 2 orły”, wtedy A = {OOR, ORO, ROO}.
• Niech B=„za drugim razem reszka”, wtedy B = {ORO, ORR, RRO, RRR}.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli w doświadczeniu jest tylko skończenie wiele wszystkich możliwych wyników i są one jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy ze wzoru:
|A|
P (A) =
,
|Ω|
gdzie |X| oznacza liczbę elementów zbioru X.
3
Na czym polega rachunek prawdopodobieństwa?
Rachunek prawdopodobieństwa uczy, jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, gdy znamy
prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych.
Ważna uwaga W przypadku klasycznej definicji prawdopodobieństwa NIE MUSIMY dokładnie opisywać zbioru Ω, musimy tylko obliczyć, ILE MA ELEMENTÓW!
Kombinatoryka, czyli z ilu elementów składa się dany zbiór
W obliczaniu liczebności zbiorów pomagają nam:
• Permutacje
• Kombinacje
• Wariacje
• Wszystkie one łatwo wynikają z reguły mnożenia.
Reguła mnożenia Jeżeli mamy doświadczenie dwuetapowe i:
• Pierwszy etap można wykonać na k różnych sposobów,
• drugi etap można wykonać na m różnych sposobów,
• to całe doświadczenie (pierwszy i drugi etap) można wykonać na k × m sposobów.
Oczywiście taka sama reguła stosuje się do doświadczeń wieloetapowych.
Przykład zastosowania reguły mnożenia Ile różnych zestawów obiadowych oferuje restauracja, jeżeli
ma 6 różnych zup, 10 rodzajów drugich dań i 7 rodzajów deserów? Zakładamy, że każda potrawa pasuje do
każdej.
• Zupę wybieramy na 6 sposobów,
• drugie danie na 10 różnych sposobów,
• a deser na 7 różnych sposobów,
• te wybory dają 6 × 10 × 7 = 420 różnych zestawów.
• Gdyby tak jeszcze oferowali 20 gatunków win, otrzymalibyśmy 6×10×7×20 = 8400 różnych obiadów.
Konkretne, łatwe zadanie Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to
będzie figura (as, król, dama lub walet)?
• Losujemy jedną kartę spośród 52, więc |Ω| = 52.
• Niech F =wylosujemy figurę. Zdarzeniu F sprzyja 16 kart (po 4 w każdym kolorze) czyli |F | = 16.
• Wylosowanie każdej karty jest tak samo prawdopodobne, więc możemy stosować definicję klasyczną.
• Na mocy klasycznej defincji prawdopodobieństwa
P (F ) =
4
16
= .
52
13
Zadanie nieco trudniejsze Przy prostokątnym stole, z jednej jego strony, stoi 7 krzeseł. Za chwilę losowo (co to znaczy?) na tych krzesłach usiądzie 7 osób, wśród nich Adam i Ewa. Oblicz prawdopodobieństwo,
że będą oni siedzieć obok siebie.
4
• 7 osób można posadzić na 7 krzesłach na 7! sposobów, gdyż:
• ustawiamy osoby alfabetycznie i liczymy sposoby: pierwszą możemy posadzić na 7 sposobów, drugą
na 6, trzecią na 5,..., siódmą na 1
• reguła mnożenia daje 7 · 6 · ... · 2 · 1 = 7! sposobów.
• Każdy sposób jest tak samo prawdopodobny, więc możemy stosować definicję klasyczną.
• Zdarzeniu Adam i Ewa siądą obok siebie sprzyja ....... sposobów. Jak to obliczyć???
• Na mocy klasycznej definicji prawdopodobieństwa
P (A i E siądą obok siebie) =
2
6 · 5! · 2
= .
7!
7
• A gdyby siadali przy okrągłym stole?
Skąd znamy prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych?
• Dość rzadko możemy skorzystać z symetrii (moneta, kostka, karta w talii, kula w urnie).
• W wiekszości przypadków pomaga nam obserwacja i zamiast prawdopodobieństw stosujemy częstości,
które zdołamy zaobserwować.
• Kłopoty z częstościami: mogą się różnić — częstości narodzin każdej z płci różnią się nieco w różnych
krajach i latach.
• Jeśli zbadamy np. preferencje polityczne 1000 osób, to czy na tej podstawie można wyrokować o całym
40 milionowym społeczeństwie?
• Ile osób należy przepytać w tym celu?
• Co to jest próba reprezentatywna?
• Jak często będziemy się mylić, wyciągając wnioski z takich badań?
• Co to jest statystyka?
Na czym polega statystyka?
Statystyka uczy, jak szacować prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, na podstawie przeprowadzonych
prób lub obserwacji.
5