Rachunek prawdopodobieństwa I

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad. 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I
Rok studiów:
Semestr:
II
4
ECTS: 6
Rodzaj zajęć:
W
Ć
S
L
Liczba godzin w semestrze:
30
30
-
-
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Analiza matematyczna I, II.
Założenia i cele przedmiotu
Celem zajęć jest zapoznanie studentów z podstawowymi zagadnieniami z rachunku
Prawdopodobieństwa, niezależnością zdarzeń, schematem Bernoulli’ego. W szczególności studenci
powinni opanować umiejętność obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych, modelowania
doświadczeń losowych za pomocą zmiennych losowych, obliczania wartości oczekiwanej, wariancji i
odchylenia standardowego Przedmiot stanowi wprowadzenie do jego kontynuacji: Rachunek
prawdopodobieństwa II.
Metody dydaktyczne
Wykład tradycyjny, wspomagany prezentacją multimedialną.
Ćwiczenia tradycyjne.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie ćwiczeń: Trzy sprawdziany pisemne, dodatkowo premiowana aktywność na zajęciach.
Aby uzyskać zaliczenie trzeba uzyskać co najmniej 50% wszystkich punktów.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Przestrzeń probabilistyczna.
Definicja aksjomatyczna, podstawowe własności prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo
klasyczne, prawdopodobieństwo dyskretne, prawdopodobieństwo geometryczne, produkt
przestrzeni probabilistycznych, schemat Bernoullego, lemat Borela-Cantellego.
2. Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń.
Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa,
zdarzenia niezależne.
3. Elementy teorii miary i całki.
Mierzalność odwzorowań, całka względem miary probabilistycznej, własności całki, twierdzenie
Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej, , twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej,
twierdzenie Fubiniego.
4. Rozkłady i zmienne losowe.
Rozkłady dyskretne, ciągłe, twierdzenie Radona-Nikodyma,
rozkłady absolutnie ciągłe,
zmienne losowe i ich rozkłady, wektory losowe i rozkłady wielowymiarowe, dystrybuanta i jej
własności, związek dystrybuanty z rozkładem, niezależność wektorów losowych, niezależność
sigma-algebr, funkcje wektorów losowych, splot rozkładów.
5. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych.
Wartość oczekiwana, twierdzenie o zamianie miary w całce, wariancja, odchylenie
standardowe, momenty zwykłe i centralne, skośność, eksces, mediana, moda, kowariancja,
macierz kowariancji, współczynnik korelacji, zmienne nieskorelowane, regresja, nierówności
Czebyszewa.
6. Przegląd rozkładów.
Rozkład: jednopunktowy, dwupunktowy, dwumianowy, geometryczny, wielomianowy, Pascala,
hipergeometryczny, Poissona, prawo małych liczb Poissona, rozkład: jednostajny, wykładniczy,
normalny, n-wymiarowy rozkład normalny, rozkład gamma, chi-kwadrat, Studenta, Cauchy'ego.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Własności prawdopodobieństwa, obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń losowych z użyciem
metod kombinatorycznych, schemat Bernoullego, obliczanie prawdopodobieństwa geometrycznego.
2. Obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego, wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór
Bayesa, badanie niezależności zdarzeń.
3. Badanie mierzalności odwzorowań, przykłady zmiennych losowych i ich rozkładów, gęstość
prawdopodobieństwa, wyznaczanie dystrybuanty zadanego rozkładu prawdopodobieństwa i na
odwrót.
4. Obliczanie
wartości oczekiwanej, wariancji, odchylenia standardowego i innych parametrów
zmiennych losowych.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] 1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, 2001.
[2] M. Wiciak, Elementy probabilistyki w zadaniach, Wydawnictwo PK, 2008.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.
[2] W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, II, PWN, Warszawa 1977.
[3] J. Stojanow, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, PWN Warszawa 1982
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr Margareta WICIAK
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK