listy 1-6 (semestr zimowy)

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA - POZIOM ROZSZERZONY - 2016/2017
Lista nr 1
Zad.1. (6p)
Dla jakich wartości parametru m równanie sin 4 x + cos 4 x =
Zad.2. (5p)
Dla kątów α , β , γ trójkąta ABC zachodzi związek
2m + 1
ma rozwiązanie?
m −1
sin α
= 2 cos γ . Uzasadnij, że trójkąt
sin β
ABC jest równoramienny.
Zad.3. (5p)
Z kawałka drutu o długości 10 cm wykonano dwie ramki: jedną w kształcie kwadratu, a drugą
w kształcie trójkąta równobocznego. Wiedząc, że suma pól ograniczonych przez te ramki
wynosi 1 + 3 cm 2 , oblicz długości boków kwadratu i trójkąta.
(
)
Zad.4. (4p)
Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 + (m − 3)x − 2m + 6 = 0 ma dwa różne
pierwiastki, oba większe od 1.
Zad.5. (4p)
Dla jakich wartości parametru m kwadrat
x 2 + (m − 3)x − 2m + 6 = 0 jest większy od 10.
różnicy
pierwiastków
równania
Zad.6. (3p)
Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są
odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych
AC i BD. Uzasadnij, że odcinek MQ jest równoległy do PN.
Zad.7. (4p)
Dany jest wykres funkcji kwadratowej f ( x) = x 2 oraz punkt A=(3;0). Znajdź punkt na
wykresie funkcji f leżący najbliżej punktu A.
Zad.8. (4p)
Wyznacz wszystkie wartości rozwiązania równania 2 cos 2 x − 5 sin x − 4 = 0 należące do
przedziału 0;2π .
Zad.9. (4p)
Rozwiąż równanie 2 sin 2 x − 2 sin 2 x cos x = 1 − cos x w przedziale 0;2π .
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA - POZIOM ROZSZERZONY - 2016/2017
Lista nr 2
Zad.1. (6p)
W urnie jest 5 kul białych i 4 czarne. Z tej urny wyjmujemy losowo dwie kule. Oblicz, ile kul
białych należy dołożyć do tej urny, aby prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej
7
kuli białej było większe od .
8
Zad.2. (5p)
Ze zbioru { 1, 2, 3,K, 2n }, gdzie n jest liczbą naturalną, wylosowano dwie liczby. Zdarzenie
A oznacza, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Oblicz, dla jakiej wartości n
5
prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe .
11
Zad.3. (4p)
Ciąg x − 3, x + 3, 6 x + 2, ... jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach
S
1
dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że 19 < , gdzie S n oznacza sumę
S 20 4
n początkowych wyrazów tego ciągu.
Zad.4. (4p)
Ze zbioru cyfr bez zera losujemy 3 razy po jednej cyfrze bez zwracania i układamy
w kolejności losowania w liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób
ułożymy liczbę większą od 558.
Zad.5. (6p)
W pudełku jest n żetonów o wartości 1 zł, n+2 żetony o wartości 2 zł oraz 2n żetonów
o wartości 3 zł. Prawdopodobieństwo zdarzenia A, że wylosujemy z pudełka dwa żetony
1
o łącznej wartości 4 zł jest równe . Oblicz, ile żetonów znajduje się w pudełku.
3
Zad.6. (4p)
W aparaturze zamontowano 3 urządzenia wykrywające awarię: U 1 , U 2 , U 3 . Urządzenia te
wykrywają awarię z prawdopodobieństwami odpowiednio: 0,8; 0,85; 0,9. Oblicz
prawdopodobieństwo, że w tej aparaturze awaria zostanie wykryta.
Zad.7. (3p)
Wiadomo, że dla pewnych zdarzeń P ( A) =
3
7
, P ( A ∩ B ) = . Oblicz prawdopodobieństwo
4
12
zdarzenia A | B .
Zad.8. (6p)
Przekształcenie płaszczyzny, które punktowi A o współrzędnych (3;−3) przyporządkowuje
 x' = 2 x + 2
punkt A' = ( x' ; y ' ), gdzie 
jest jednokładnością o środku w punkcie P = (−2;−1).
 y' = 2 y + 1
Wyznacz współrzędne punktu A' oraz skalę tej jednokładności. Napisz równanie okręgu
x 2 + y 2 − 6 x = 0 w tej jednokładności.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA - POZIOM ROZSZERZONY - 2016/2017
Lista nr 3
Zad.1. (4p)
Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c, a + b = 2c , to
a
b
+
= 2.
a−c b−c
Zad.2. (5p)
1
poprowadzono prostą równoległą do osi OX, która przecięła
x2
wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C=(3;-1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest
większe lub równe 2.
Przez wykres funkcji f ( x) =
Zad.3. (2p)
Rozwiąż nierówność: 2 x + 4 + x − 1 ≤ 6.
Zad.4. (5p)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 + mx + 2 = 0 ma dwa
różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m 2 − 13.
Zad.5. (6p)
Wyznacz
wszystkie
wartości
parametru
m,
dla
których
równanie
2
3
2
x − 4mx − m + 6m + m − 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x 2 takie, że
(x1 − x 2 )2 < 8(m + 1).
Zad.6. (4p)
Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F
umieszczone tak, aby CE = 2 DF . Oblicz wartość x = DF , dla której pole trójkąta AEF jest
najmniejsze.
Zad.7. (4p)
O ciągu ( x n ) n ≥ 1 wiadomo, że
a) ciąg (a n ) określony wzorem a n = 3 xn dla n ≥ 1 jest geometryczny o ilorazie q = 27,
b) x1 + x 2 + K + x10 = 145.
Oblicz x1 .
Zad.8. (7p)
Wysokość H ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest dwa razy większa niż długość a
krawędzi jego podstawy. Oblicz cosinus kąta zawartego między sąsiednimi ścianami
bocznymi tego ostrosłupa.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA - POZIOM ROZSZERZONY - 2016/2017
Lista nr 4
Zad.1. (4p)
Towarzystwo lotnicze wyczarterowuje 60-miejscowe samoloty grupom co najmniej 45
osobowym. Jeżeli leci 45 osób, to każda z nich płaci za przelot 600 zł. Po zwiększeniu
liczebności grupy o 1 osobę, każdemu pasażerowi obniża się cenę biletu o 10 zł. Ile osób
powinna liczyć grupa, aby towarzystwo lotnicze za wyczarterowanie samolotu uzyskało jak
największą zapłatę?
Zad.2. (4p)
Oblicz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
(x − 16)2 + y 2 = 4 jest okrąg o równaniu (x − 8)2 + ( y − 4)2 = 36 , a skala tej jednokładności
jest liczbą ujemną.
Zad.3. (4p)
Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku a. Przez środek D boku AB tego trójkąta
poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt o mierze α . Prosta ta przecięła bok BC
w punkcie E i podzieliła trójkąt na dwie figury o stosunku pól 1:7. Wyznacz kąt α .
Zad.4. (4p)
W okręgu o środku O i promieniu r poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB, CD oraz
cięciwę AE, która przecięła średnicę CD w punkcie F. Wiadomo, że | ∠ EAB |= 30 0. Wykaż,
że w czworokąt OBEF można wpisać okrąg.
Zad.5. (3p)
3
π
Wykaż, że x = log 2 sin π + log 1 tg jest liczbą całkowitą.
4
3
3
Zad.6. (4p)
Rozwiąż nierówność
2x
4x
8x
1024 x
+
+
+ ... +
≥ 4092.
2x − 3 2x − 3 2x − 3
2x − 3
Zad.7. (4p)
Dany jest ciąg (sin x, cos 2 x, 1). Wyznacz wszystkie wartości x ∈ 0;2π , dla których ten
ciąg jest arytmetyczny.
Zad.8. (4p)
W banku w pierwszym roku oszczędzania stopa procentowa była równa p%, a w drugim roku
była o 2 punkty procentowe niższa. Po dwóch latach, przy rocznej kapitalizacji odsetek, stan
konta wzrósłby z 1000 zł do 1232 zł, gdyby nie potrącono podatku od odsetek. Oblicz p.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA - POZIOM ROZSZERZONY - 2016/2017
Lista nr 5
Zad.1. (4p)
Spośród wierzchołków kwadratu o boku a=1 i środków jego boków wybrano trzy punkty.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane punkty nie są współliniowe.
Zad.2. (4p)
Spośród wierzchołków trójkąta równobocznego o boku a=2 i środków jego boków wybrano
losowo 3 punkty. Oblicz prawdopodobieństwo, że te punkty są wierzchołkami trójkąta o polu
3
równym
.
4
Zad.3. (5p)
Spośród cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy ze zwracaniem 3 razy po jednej cyfrze
i otrzymujemy ciągi trójwyrazowe. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) zdarzenia A, że otrzymany ciąg jest ciągiem geometrycznym
b) zdarzenia B, że otrzymany ciąg jest ciągiem arytmetycznym,
c) zdarzenia C, że otrzymamy ciąg jest ciągiem geometrycznym i arytmetycznym.
Zad.4. (5p)
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, że kwadrat losowo wybranej liczby n ∈ 1;100 .
Zad.5. (4p)
Na egzaminie zdający losuje 4 pytania. Oblicz, ile jest możliwości, że odpowie on
pozytywnie na co najmniej 3 pytania, jeżeli umie odpowiedzieć tylko na 20 spośród 25
przygotowanych pytań egzaminacyjnych.
Zad.6. (4p)
Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH.
Udowodnij, że AC = FG .
Zad.7. (4p)
Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz miara kąta BAC wynosi 30 0.
Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta.
Zad.8. (4p)
Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0 poprowadzonymi
przez punkt A=(2;0).
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA - POZIOM ROZSZERZONY - 2016/2017
Lista nr 6
Zad.1. (3p)
Rozwiąż nierówność x + 7 − 2 x − 4 > 3 − 4 x.
Zad.2. (4p)
Dana jest funkcja f ( x) = (m − 1) x 2 − 2mx + m + 3. Wymień wszystkie wartości parametru m,
aby suma sześcianów dwóch miejsc zerowych tej funkcji była większa od 4.
Zad.3. (4p)
4n 2 − 19n − 5
dla n ≥ 1.
4n + 1
a) Wykaż, że ciąg (a n ) jest arytmetyczny.
b) Wyznacz takie dwa kolejne wyrazy tego ciągu, aby różnica ich kwadratów była równa
153.
Ciąg (a n ) dany jest wzorem: a n =
Zad.4. (4p)
3x
Znajdź dziedzinę funkcji określonej wzorem: f ( x) = 2 x −1 − 14 .
Zad.5. (4p)
Rozwiąż równanie:
1 2
sin 2 x − cos 2 x = 0 dla x ∈ (0;2π ).
2
Zad.6. (5p)
2
2
Dane są okręgi o równaniach ( x − 3) + y 2 = 16 i x 2 + ( y − m ) = m 2 , m > 0. Wyznacz
wszystkie wartości parametru m, dla których okręgi te mają jeden punkt wspólny.
Zad.7. (4p)
Dany jest ciąg (a n ) o wyrazie ogólnym a n = | n − 10 | − 8 . Sprawdź, które wyrazy tego ciągu
są równe 4.
Zad.8. (5p)
Dana jest funkcja określona wzorem: f ( x) = x 2 − mx + 2m. Funkcja g przyporządkowuje
każdej liczbie rzeczywistej m najmniejszą wartość funkcji f w przedziale − 1;1 . Wyznacz
wzór funkcji g.