ZAJĘCIA 42. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.

ZAJĘCIA 42.
Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Geometria analityczna to dział geometrii zajmujący się badaniem własności figur
geometrycznych metodami analitycznymi i algebraicznymi. Zamiast rozwaŜać geometryczne
aspekty figur rozwiązujemy układów równań, które opisują dane figury. Geometria analityczna
bada przestrzeń euklidesową (czyli taką naszą, swojską, ale niekoniecznie trójwymiarową) i
własności jej podzbiorów. Geometria analityczna stworzona została w XIX wieku przez
matematyka szwajcarskiego René Descartesa i francuskiego Pierre'a de Fermata.
René Descartes
Pierre de Fermat
A oto podstawowe pojęcia geometrii analitycznej:
1. Prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych
Przez dowolny punkt (nazwiemy go punkt O) na płaszczyźnie poprowadźmy dwie wzajemnie
prostopadłe osie liczbowe. Układ tak zbudowanych osi nazywamy układem współrzędnych
prostokątnych na płaszczyźnie. Punkt ich przecięcia O nazywamy początkiem układu
współrzędnych, a osie nazywamy osiami współrzędnych. Oś poziomą OX nazywamy osią
odciętych, oś pionową OY nazywamy osią rzędnych. Inną nazwą prostokątnego układ
współrzędnych jest układ kartezjański (od Kartezjusza, prekursora geometrii analitycznej. W
przestrzeni układ kartezjański tworzą zamiast dwóch, trzy proste prostopadłe, w czterech i więcej
wymiarach (nie)moŜna sobie wyobrazić, Ŝe jest ich odpowiednio więcej. Osie dzielą płaszczyznę
na cztery części zwane ćwiartkami: I, II, III, IV.
2. Współrzędne punktu na płaszczyźnie
KaŜdemu punktowi P na płaszczyźnie moŜemy przyporządkować jednoznacznie parę liczb (x, y),
które nazywamy współrzędnymi. Aby określić współrzędne punktu na płaszczyźnie znajdujemy
rzuty prostopadłe punktu P odpowiednio na osie OX i OY i odczytujemy liczby x i y, które tym
rzutom odpowiadają. Para (x, y) jest parą uporządkowaną, jako pierwszą wyróŜniamy oś OX,
a jako drugą oś OY. Oczywiście przyporządkowanie między punktami płaszczyzny i parami liczb
(x, y) jest wzajemnie jednoznaczne. Punkt P o współrzędnych x i y zapisujemy P = (x, y).
* Odcinek
Długość odcinka o końcach w punktach:
wynosi:
zaś, jak łatwo obliczyć, współrzędne środka odcinka AB to:
3. Odległość punktu od prostej
Odległość punktu P(x0, y0) od prostej o równaniu ogólnym: Ax + By + C = 0, dana jest wzorem:
4. Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku w punkcie S = (a, b) i promieniu r ma postać:
Teraz troszkę rozszerzymy:
5. Wektor
Wektor to uporządkowana para punktów. Pierwszy z nich nazywamy początkiem drugi końcem
wektora. Wektor posiada zwrot, kierunek i wartość. Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na
której leŜy wektor. Zwrot wektora określa nam jego początek i koniec. Wektor, którego
początkiem i końcem jest ten sam punkt nazywamy wektorem zerowym. Wartość wektora to
po prostu jego długość. Wektor wyznaczają jego współrzędne, zapisujemy je v = [A,B].
Współrzędnymi wektora nazywamy miary rzutów wektora v na osie prostokątnego układu
współrzędnych, względem tych osi. PoniewaŜ rachunek wektorowy stanowi pokaźny dział
geometrii analitycznej nie będę tu szczegółowo go omawiał.
Mała powtóreczka z rozszerzeniem:
6. Prosta na płaszczyźnie
Pojęcie linii prostej jest intuicyjnie jasne, w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest
pojęciem pierwotnym, czyli takim, którego się nie definiuje. MoŜna ją jednak interpretować za
pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów spełniających pewne
równanie. W geometri analitycznej prostą określamy jako zbiór punktów spełniających pewne
równanie liniowe. Równanie to moŜna zapisać w róŜnej postaci.
7. Równanie kierunkowe prostej
Jeśli prosta nie jest równoległa do osi OY, to równanie prostej moŜna zapisać w tak zwanej
postaci kierunkowej y = mx + b, gdzie m i b to liczby rzeczywiste. Parametr m nazywany jest
współczynnikiem kierunkowym, poniewaŜ od niego zaleŜy kąt nachylenia prostej do osi OX.
Parametr b, nazywany wyrazem wolnym, to rzędna punktu, w którym prosta przecina oś OY.
8. Równanie ogólne prostej
W prostokątnym układzie współrzędnych weźmy pod uwagę punkt P = (x1, y1) i wektor
niezerowy v = [A,B]. PoniewaŜ wektor ten jest niezerowy, więc jego współrzędne A i B nie
mogą jednocześnie być równe zeru. Istnieje jedna i tylko jedna prosta l przechodząca przez punkt
P i prostopadła do wektora v określona równaniem: Ax + By + C = 0.
Dla A, B, C ∈ R, przy czym A i B nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów,
których współrzędne spełniają zaleŜność: Ax + By + C = 0. Liczby A, B, C nazywamy
współczynnikami liczbowymi równania prostej.
9. Kąt między prostymi
Kątem między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów.
Niech będą dane dwie proste k: y = m1x + k1 i l: y =m2x + k2.
Z rysunku otrzymujemy α + φ = β stad φ = β - α