wyklad 1b ruch

Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych
x i y. Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy,
że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy
jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie
Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r(t); prędkość wektor
v(t), przyspieszenie wektor a(t). Wektory r(t), v(t), a(t) są wzajemnie
zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów i, j
czyli wektorów jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio
wzdłuż osi x i y
(3.1)
Położenie punktu określić można podając wektor r lub, dla wybranego
układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego wektora np. x,
y. Oczywiście wektor r i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc
trzeba podać zależności czasowe r(t), x(t), y(t) tak jak na rysunkuanimacji poniżej.
Rozpatrzmy ruchu jednostajnie zmienny na płaszczyźnie (ze stałym
przyspieszeniem tzn. nie zmieniają się ani kierunek ani wartość
przyspieszenia to nie zmieniają się też składowe przyspieszenia).
Równania wektorowe dla tego ruchu:
(3.2)
Przypuśćmy, że chcemy znaleźć położenie ciała (wektor r) po czasie t:
trzeba wyznaczyć (znaleźć wartość, kierunek i zwrot) i dodać do siebie
geometrycznie trzy wektory: r0, v0t oraz 1/2at2 .
Zadanie możemy jednak znacznie uprościć korzystając z tego, że
równania wektorowe (3.2) są równoważne równaniom w postaci
skalarnej (zestawionym w tabeli 3.1 poniżej) i zamiast dodawania
geometrycznego wektorów możemy po prostu dodawać liczby.
Znalezienie wektora r sprowadza się teraz do znalezienia jego
składowych.
Tabela 3.1
Równania skalarne opisujące ruch
wzdłuż osi x
Równania skalarne opisujące ruch
wzdłuż osi y
Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym
przyspieszeniem jest rzut ukośny (Piłka kopnięta przez piłkarza lub
rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy
wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się poruszają się po
torze krzywoliniowym)
Naszym celem jest znalezienie prędkości i położenia rzuconego ciała w
dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu.
Jeżeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym
przyspieszeniem grawitacyjnym g.
Ponieważ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać
układ współrzędnych tak, że x będzie współrzędną poziomą, a y
pionową.
Ponadto, przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się
z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r0 = 0 oraz, że prędkość w chwili
początkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy kąt θ z dodatnim kierunkiem osi x
(rysunek poniżej).
Rys. 3.2. Składowe prędkości początkowej
Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem) wynoszą
odpowiednio
(3.3)
Stąd dla składowej x (poziomej) prędkości otrzymujemy
(3.4)
Ponieważ gx = 0 (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc
(3.5)
Składowa pozioma prędkości jest stała, ruch w kierunku x jest
jednostajny. Natomiast dla składowej pionowej y otrzymujemy
(3.6)
Ponieważ gy = -g (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc
(3.7)
Wartość wektora prędkości w dowolnej chwili wynosi
(3.8)
Teraz obliczamy położenie ciała w dowolnej chwili t.
(3.9)
Wartość wektora położenia w dowolnej chwili obliczamy z zależności
(3.10)
Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy
równanie krzywej y(x). Równania (3.9) przedstawiają zależność x(t) oraz
y(t). Równanie y(x) możemy więc obliczyć eliminując czas t z tych
równań. Z zależności x(t) obliczamy t, a następnie wstawiamy do
równania y(t), które przyjmuje postać
(3.11)
Otrzymaliśmy równanie paraboli (skierowanej ramionami w dół) i taki
kształt ma tor ruchu y(x) pokazany na rysunku poniżej.
Rys. 3.3. Parabola rzutu ukośnego
Rys. 3.4. Przyspieszenie całkowite g, styczne as i dośrodkowe an w
rzucie ukośnym