A A A P(A) P(A) Niech S będzie relacją równoważności na X. Wtedy

A jest zbiorem. P(A) oznacza rodzinę podzbiorów A. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe:
A
A
B
C
D
 A
 A
A  P(A)
  P(A)



Niech S będzie relacją równoważności na X. Wtedy:
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D














⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥

⊥
⊥
A
B
C
D
⊥ ⊥ ⊥
A
B
C
D
S musi być funkcją.
S nie może być relacją porządku liniowego, jeśli zbiór X ma przynajmniej dwa elementy.
S nie może być relacją porządku częściowego.
Klasa abstrakcji każdego elementu zbioru X względem relacji S jest niepusta.
Funkcja f: XY jest injekcją ale nie jest surjekcją. Wtedy:
∀A: A⊆X ⇒ f—1(f(A))=A
∃B: B⊆Y ⇒ f—1(B) = X
∀B: B⊆Y ⇒ f—1(B) ≠
∀B: B⊆C⊆Y ⇒ f—1(B)⊆ f—1(C)
Które spośród poniższych operacji są łączne:
Suma mnogościowa zbiorów
Alternatywa zdań logicznych
Składanie funkcji
Składanie relacji
Niech R będzie relacją porządku liniowego na X. Wtedy:
Klasą abstrakcji każdego elementu zbioru X jest zbiór elementów od niego mniejszych.
R-1 jest relacją porządku liniowego.
R jest relacją porządku częściowego.
R2 jest relacją porządku liniowego.
Które z poniższych jest tautologią:
(∃x p(x)  ∃x q(x)) ⇔ ∃x (p(x)  q(x))
∀x (p(x) ⇔ q(x)) ⇔ (∀x p(x) ⇔ ∀x q(x))
∀x (p(x)  q(x))  (∀x p(x)  ∀x q(x))
∃x (p(x)  q(x))  ( ∃x p(x)  ∃x q(x))
Jeśli zbiory A, B, C są takie, że A \ B = C to prawdziwe są zdania:
AB=C
AC=B
AC=B
BC=A
O relacji R na zbiorze X ×Y wiemy że R° R-1 jest jednoelementowym podzbiorem X ×X. Wtedy:
X musi być zbiorem jednoelementowy.
Jeśli R° R-1 ={(x,x)} to jedyne elementy R są postaci (x,y) dla pewnych y ze zbioru Y
Relacja R może być funkcją.
Relacja R-1° R jest jednoelementowym podzbiorem Y ×Y
Wskaż poprawny pełny dowód formuły p  ( q  p) w systemie naturalnej dedukcji:
 p,q
q
 p
(qp) 
p(qp)
 p,q
p
 p
(qp) 
p(qp)
 p,q
(pp)  p
(qp) 
p(qp)
 p
(qp) 
p(qp)
Wskaż zbiory uporządkowane według porządku leksykograficznego, jeśli a ≤ b w alfabecie:
{a, ab, aab, aabb, aaabbb}
{a, aaa, abb, abaaa, abbaa}
{a, b, aa, bb, aaa, bbb}
{a, aa, aaa, b, bb, bbb}

A
B
C
D
⊥ ⊥
A
B
C
D
⊥
A
B
C
D
⊥ ⊥
AB=A
AB=A
AB=
AB=B
⊥
A
B
C
D
⊥ ⊥ ⊥ ⊥

p
 p
q

q

p
⊥
A
B
C
D
Które z poniższych kawałków dowodów stosują regułę modus ponens (odrywania):
 (qp) 
qp
 (pq)
 (qp) 
p
 (qp) 
p(qp)
Jeśli zbiory A, B są takie, że A  B to prawdziwe są zdania:



Aby było złożenie f°g: XZ, dowolnych funkcji g:XY i f:YZ było surjekcją:
żaden z pozostałych warunków nie jest prawdziwy
wystarczy jeśli g jest surjekcją
wystarczy jeśli f jest surjekcją
potrzeba by f i g były surjekcjami
Wskaż zbiory które są drzewami ( ε to korzeń ):
{ε, a, aa, aaaa, aaaaaa, aab}
{ε, a, aa, aab, aaa, aaaa, aaba}
{ε, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aab}
{ε, a, b, bb, ab, ba, aa}
f: XY jest funkcją. B⊆Y i x  f -1(B). Wtedy:
A  f -1(B) ⇒ B \ f(A) = 
A  (X \ f -1(B)) ⇒ f(A)  Y \ B
∃ yB: f(x)=y
∀C, C  B ⇒ xf -1(C)






Przedziałem na X, (zbiór X z relacją porządku częściowego ≤ ) jest każdy podzbiór X,
taki że jeśli x X oraz y ≤ x to y X. Proszę sprawdzić czy są przedziałami:
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
Dowolny podzbiór Y  X jeśli relacja ≤ jest diagonalna ( x ≤ y ⇔ x=y)
Dowolne drzewo T  X, jeśli relacja ≤ jest porządkiem prefiksowym
Dowolny nieskończony podzbiór zbioru liczb całkowitych (≤ zwykła relacja)
Dowolny przedział [0,p), 0<p<1 dla X=[0,1] (≤ zwykła relacja)
Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru A w zbiór B (A, B zbiory niepuste):
Jest podzbiorem A×B
Jest podzbiorem P(A×B)
Jest jednoelementowy wtedy i tylko wtedy jeśli zbiór B jest jednoelementowy
Jest bijektywny z A  B
Wśród poniższych zdań wskaż tautologie:
(p  q)  (q  p)
(p  ¬q)  (¬p  q)
(p  q)  (q  p)
p  ( q  p)
Moc zbioru A i moc zbioru B, A  B są równe. Wtedy
A=B
B = A  C, i C jest zbiorem przeliczalnym
istnieje injekcja z B do A
B = A  C, i C jest zbiorem o skończonej liczbie elementów
Rodzina zbiorów { At }, t  T, spełnia: At ≠  dla każdego t  T. Wtedy zachodzi:
∀sT ∀ t T As  At ≠ 
∀sT ∃ t T As \ At ≠ 
∃ tT ∀sT As \ At ≠ 
∃ sT ∃ tT As  At ≠ 








