Statystyka matematyczna
Transkrypt
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Statystyki dostateczne – teoria Rozważamy model statystyczny (X , {Pθ , θ ∈ Θ}). Najczęściej mamy do czynienia z próbą prostą n-elementową i wówczas X = Xn , gdzie X to zbiór możliwych wyników pojedynczego losowania, a Pθ to iloczyn rozkładów n pojedynczych prób. Definicja: Statystyką nazywamy odwzorowanie T : X → Rk , k ∈ N. (Czyli statystyka to po prostu pewna funkcja próby o wartościach w Rk ). Definicja: Statystyka T jest dostateczna, jeżeli dla każdej wartości t tej statystyki jej rozkład warunkowy Pθ (· | T = t) nie zależy od θ. Kryterium faktoryzacji: Statystyka T jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy gęstość rozkładu prawdopodobieństwa próby X1 , . . . , Xn można przedstawić w postaci fθ (x1 , . . . , xn ) = gθ (T (x1 , . . . , xn ))h(x1 , . . . , xn ), czyli w postaci iloczynu funkcji h zależnej od wartości próby, ale niezależnej od parametru θ i funkcji gθ zależnej od parametru θ i zależnej od próby, ale tylko poprzez wartość statystyki T . Uwaga: • Statystyki dostateczne mają następujące zastosowanie praktyczne: zamiast brać pod uwagę całą próbę, tzn. uwzględniać wszystkie wylosowane wartości oraz ich kolejność, możemy ograniczyć się do informacji zawartej w wartości statystyki; jeśli statystyka jest dostateczna, to jej wartość jest wystarczającą (dostateczną) informacją do wnioskowania o wartości nieznanego parametru. • Dla danej rodziny rozkładów może istnieć kilka statystyk dostatecznych. Np. cała próba jest zawsze statystyką dostateczną. Najczęściej statystyką dostateczną jest również statystyka porządkowa, czyli próba uporządkowana od wartości najmniejszej do największej. Powstaje problem jak wybrać statystykę, która będzie zawierała minimalną ilość informacji wystarczającą do wyznaczenia wartości nieznanego parametru. Definicja: Statystykę dostateczną S nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej T istnieje funkcja h taka, że S = h(T ) (czyli S powstaje jako pewna funkcja każdej innej statystyki dostatecznej). (Na podstawie: Ryszard Zieliński, Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa, 1990)