Wstęp do statystyki matematycznej Lista 3 1. Niech X1, ..., Xn będzie

Wstęp do statystyki matematycznej
Lista 3
1. Niech X1 , ..., Xn będzie próbą z rozkładu Poissona o średniej λ > 0. Wyznaczyć
P
rozkład warunkowy próby pod warunkiem, że T = t, gdzie T = ni=1 Xi .
Wykazać, że T jest statystyką dostateczną.
2. Niech h(x) będzie dodatnią funkcją całkowalną, określoną na (0, ∞) i niech
f (x; θ) będzie gęstością prawdopodobieństwa określoną wzorem
(
f (x; θ) =
c(θ)h(x), gdy 0 < x < θ,
0,
w przeciwnym przypadku.
Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu o gęstości f (x; θ). Udowodnić,
że Xn:n jest statystyką dostateczną dla parametru θ.
3. Niech X1 , ..., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie. Korzystając z kryterium faktoryzacji, wskazać statystyki dostateczne
T (X1 , ..., Xn ) dla nieznanych parametrów, gdy Xi , i = 1, ..., n, mają rozkład
(a) Poissona P(λ) z parametrem λ;
(b) normalny N (µ, σ 2 ) z parametrami µ i σ;
(c) dwumianowy ujemny N B(r, p) z parametrem p;
(d) gamma G(α, λ) z parametrami α i λ;
(e) beta Be(α, β) z parametrami α i β;
(f) jednostajny U(a, b) z parametrami a i b;
(g) Pareto Pa(x0 , α) z parametrami x0 i α;
(h) Bernoulliego B(1, p) z parametrem p.
4. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu normalnego N (θ, θ2 ). Wyznaczyć minimalną statystyke dostateczną dla parametru θ i sprawdzić, że jest
ona zupełna.
5. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu
(a) jednostajnego U(0, θ), θ ∈ (0, ∞);
(b) Poissona P(θ), θ > 0.
P
Pokazać, że statystyka T (X) = Xn:n dla p-ktu (a) i T (X) = ni=1 Xi dla p-ktu,
(b) jest zupełna.
6. Rozważmy rodzinę rozkładów wykładniczych E(θ, λ) o gęstości
fθ,λ (x) = λ−1 exp[−(x − θ)/λ]1[θ,∞) (x).
Niech X1 , ..., Xn będzie próbą z tego rozkładu. Wykazać, że statystyka (X1:n ,
X1:n )) jest minimalną statystyką dostateczną.
7. Wykazać, że w rodzinie rozkładów logistycznych LG(θ, 1) o gęstościach
fθ (x) =
e−(x−θ)
, θ ∈ R,
[1 + e−(x−θ) ]2
statystyka pozycyjna jest minimalną statystyką dostateczną.
(Xi −
P
8. Statystyka (X1:n , Xn:n ) jest minimalną statystyką dostateczną dla rodziny rozkładów jednostajnych U(θ − 1/2, θ + 1/2), θ ∈ R. Wykazać, że nie jest to
statystyka zupełna.
9. Niech P będzie rodziną wszystkich rozkładów prawdopodobieństwa na prostej, które mają gęstości (względem miary Lebesgue’a). Niech X1 , ..., Xn będzie próbą z pewnego rozkładu tej rodziny. Wykazać, że statystyka pozycyjna
(X1:n , ..., Xn:n ) jest dostateczna i zupełna, a więc również minimalna.
10. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), gdzie
µ i σ nie są znane. Korzystając z twierdzenia Basu udowodnić niezależność
statystyk
X̄ i
n
X
(Xi − X̄)2 .
i=1
11. Wykazać, że dla próby z rozkładu dwuwymiarowego normalnego o znanym
współczynniku korelacji (przy nieznanych pozostałych parametrach) współczynnik korelacji z próby jest statystyką swobodną.
12. Niech X i Y będą niezależnymi próbami rozmiarów n każda z rozkładów normalnych odpowiednio N (a, σ 2 ) i N (b, τ 2 ), a, b ∈ R, σ, τ > 0.
(a) Udowodnić, że statystyka T = (X̄, ni=1 Xi2 , Ȳ , ni=1 Yi2 ) jest zupełną statystyką dostateczną dla wektora parametrów (a, σ 2 , b, τ 2 ).
P
P
(b) Wykazać, że statystyki
Pn
i=1 (Xi − X̄)(Yi − Ȳ )
V = Pn
P
[ i=1 (Xi − X̄)2 ni=1 (Yi − Ȳ )2 ]1/2
i T są stochastycznie niezależne.