ZDAJ MATMĘ NA MAKSA

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI
„ZDAJ MATMĘ NA MAKSA”
Zestaw nr 1– Poziom Rozszerzony
Zad.1. (1p) Liczby
oraz
,
są jednocześnie ujemne wtedy i tylko
wtedy, gdy
A.
B.
C.
Zad.2. (1p) Funkcja
dokładnie w przedziale
A.
B.
D.
przyjmuje wartości większe od funkcji
. Wtedy
C.
D.
Zad.3. (1p) Dany jest trójkąt o bokach
Promień okręgu opisanego na tym trójkącie
ma długość
A.
B.
C.
D.
Zad.4. (1p) Wartość wyrażenia
, gdzie n jest dowolną liczbą
naturalną dodatnią
A. jest zawsze liczbą nieparzystą
B. jest zawsze liczbą parzystą
C. jest zawsze liczbą podzielną przez 5
D. nigdy nie jest liczbą podzielną przez 3
0
Zad.5. (1p) sin15 jest równy
A.
B.
C.
D.
Zad.6. (2p) Funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe –3 i przecina oś
OY w punkcie
. Oblicz wartość tej funkcji dla argumentu 3. Zakoduj otrzymany
wynik.
Zad.7. (2p) Stożek S2 jest podobny do stożka S1 w skali . Wysokość stożka S1 jest równa 8,
a objętość stożka S2 jest równa
. Oblicz długość promienia podstawy stożka S1. Zakoduj
trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zad.8. (2p) Oblicz granicę ciągu
. Zakoduj trzy początkowe cyfry po
przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
. Zakoduj
Zad.9. (3p) Wyznacz maksimum lokalne funkcji
wartość tego maksimum.
Zad.10. (3p) Okrąg o równaniu
jest opisany na pewnym
kwadracie. Oblicz pole tego kwadratu.
spełniona jest nierówność:
Zad.11. (3p) Wykaż, że dla dowolnej liczby
.
Zad.12. (3p) Rozwiąż równanie
+
.
Zad.13. (3p) Pięć liczb tworzy ciąg arytmetyczny a liczby pierwsza, trzecia i piąta tworzą
ciąg geometryczny. Wykaż, że wszystkie liczby tworzące ciąg arytmetyczny muszą być
równe.
jeżeli wiadomo, że:
Zad.14. (4p) Napisz wzór wielomianu trzeciego stopnia
a) jednym z miejsc zerowych jest 1,
b) przyjmuje wartości ujemne dokładnie w przedziale
,
c) przecina oś rzędnych w punkcie 6.
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI
„ZDAJ MATMĘ NA MAKSA”
Zestaw nr 2– Poziom Rozszerzony
Zad.1. (1p) Wielomian W(x)= +
24 posiada
A. dokładnie trzy pierwiastki dodatnie, B. dokładnie dwa pierwiastki dodatnie,
C. dokładnie jeden pierwiastek dodatni, C. nie posiada pierwiastków dodatnich.
Zad.2. (1p) Ciąg
dany jest wzorem rekurencyjnym:
Wyraz czwarty tego ciągu jest równy
A.
,
B. ,
,
C.
.
D.
Zad.3. (1p) Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe
długość
A.
,
B.
,
Zad.4. (1p) Wyrażenie
A.
,
B.
,
C.
D.
gdzie
,
C.
,
,
D.
,
B.
Zad.6. (2p) Rozwiąż nierówność
.
można zapisać jako
Zad.5. (1p) Funkcja liniowa
OY powyżej punktu
wtedy i tylko wtedy, gdy
A.
Bok tego trójkąta ma
.
jest malejąca i jej wykres przecina oś
,
C.
D.
.
Zakoduj liczbę trzycyfrową wyrażającą ilość
wszystkich liczb całkowitych spełniających powyższą nierówność.
Zad.7. (2p) Oblicz wartość pochodnej funkcji
dla argumentu
. Zakoduj
trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zad.8. (2p) Oblicz sinus najmniejszego kąta w trójkącie o bokach 4, 5, 6. Zakoduj trzy
początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zad.9. (2p) W pewnym ciągu arytmetycznym suma dziesięciu początkowych wyrazów jest
równa 165 a suma ośmiu początkowych wyrazów jest równa 108. Zakoduj liczbę trzycyfrową
będącą wartością setnego wyrazu tego ciągu.
Zad.10. (5p) Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że suma miejsc zerowych tej funkcji
jest równa –2, iloczyn miejsc zerowych jest równy –120 i do wykresu funkcji należy punkt
(5,170). Wyznacz wartość największą tej funkcji w przedziale
Zad.11. (4p) Dana jest funkcja
. Wiedząc, że do wykresu należą punkty
(1,–1) oraz (2,5) wyznacz wartości a i b oraz narysuj wykres tej funkcji.
. Punkt E jest środkiem
Zad.12. (4p) Dany jest prostokąt ABCD o bokach 4 i 8
boku AB, a punkt F punktem przecięcia odcinków BD i EC. Oblicz pole trójkąta BEF.
Zad.13. (5p) Prosta
dzieli koło o nierówności
dwie części. Wyznacz nieujemną różnicę pól tych części koła.
na
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI
„ZDAJ MATMĘ NA MAKSA”
Zestaw nr 3– Poziom Rozszerzony
Zad.1. (1pkt) Wskaż liczbę największą spośród czterech podanych
A.
,
B.
,
,
C.
Zad.2. (1pkt) Ilość ekstremów funkcji
A. 0,
D.
jest równa
B. 1,
C. 2,
D. 3.
Zad.3. (1pkt) Dane są punkty
. Wtedy
,
A.
. Wiadomo, że
,
B.
.
C. ,
.
D.
Zad.4. (1pkt) Równanie
A. nie ma rozwiązań,
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie,
C. ma dokładnie dwa rozwiązania,
D. ma dokładnie trzy rozwiązania.
Zad.5. (1pkt) Liczba
A.
,
jest równa
B.
,
,
C.
D.
.
Zad.6. (2pkt) Do liczby 100 dodajemy liczbę trzy razy mniejszą, do otrzymanej sumy znów
liczbę trzy razy mniejszą od uzyskanej poprzednio itd. Zakoduj wartość otrzymanej sumy.
Zad.7.(3pkt) Suma miejsc zerowych ,
funkcji kwadratowej
jest równa 2, a iloczyn
(– 80). Zakoduj liczbę trzycyfrową równą sumie sześcianów miejsc zerowych funkcji
Zad.8. (2pkt) Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie jest
podzielna przez 3.
Zad.9. (4pkt) Rozwiąż nierówność
.
Zad.10. (3pkt) Trzy różne liczby o sumie 3 tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli zamienimy
miejscami drugą i trzecią liczbę, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.
Zad.11. (5pkt) Wielomian czwartego stopnia
jest iloczynem dwóch wielomianów
drugiego stopnia
i
takich, że: pierwiastkami
są liczby 2 i 4, a do wykresu
należy punkt
, zaś wszystkie współczynniki
są równe. Wyznacz
wiedząc,
że wyraz wolny tego wielomianu jest równy 8.
Zad.12. (4pkt) Oblicz długość boku rombu wiedząc, że wysokość i przekątna poprowadzone
z tego samego wierzchołka mają długości odpowiednio 4 i 6.
Zad.13. (5pkt)
Wierzchołki
prostokąta
mają
. Wyznacz współrzędne wierzchołka
okręgu opisanego na tym prostokącie.
współrzędne
oraz równanie
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI
„ZDAJ MATMĘ NA MAKSA”
Zestaw nr 5– Poziom Rozszerzony
Zad.1. (1pkt) Ile dodatnich rozwiązań ma równanie
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zad.2. (1pkt) Dla każdego , wartość wyrażenia
A.
B. 1
C. 2
B.
C. 1
Zad.4. (1pkt) Wartość wyrażenia
A. 3
D. 0
?
Zad.3. (1pkt) Ile wynosi
A.
jest równa:
D. 5
, dla
B. 1,5
jest równa:
C. 1
D. 0,75
Zad.5. (1pkt) W jednokładności o środku w punkcie M i skali k = -4 obrazem punktu A=(4,5)
jest punkt A’=(-11,-25). Środkiem tej jednokładności jest punkt
A. M=(-8,-19)
B. M=(1,-1)
C. M=(-2,0)
D. M=(9,15)
Zad.6. (3pkt) Niech
. Wykaż, że
.
Zad.7. (4pkt) W okrąg wpisano kwadrat, który jest podstawą ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości. Wiedząc, że objętość
ostrosłupa jest równa 144 wyznacz długość promienia tego okręgu.
Zad.8. (5pkt) W pojemniku jest 10 kul białych. Funkcję f(n), n = 0, 1, 2, … określamy
następująco: dla danego n dokładamy n kul czerwonych do pojemnika i losujemy jedną kulę,
f(n) jest prawdopodobieństwem wylosowania kuli czerwonej. Wyznacz f(5) i f(10) oraz wzór
funkcji f(n). Wykaż, że funkcja f(n) jest rosnąca, a następnie wyznacz o ile istnieją- wartości
najmniejszą i największą.
Zad.9. (3pkt) Udowodnij, że nie istnieje taka liczba rzeczywista x, aby ciąg (sinx, cosx, ctgx)
był geometryczny.
Zad.10. (2pkt) Dany jest ciąg określony rekurencyjnie
.
Zakoduj sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu.
Zad.11. (5pkt) Dany jest ciąg
,
.
a) Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
b) Oblicz granicę tego ciągu.
c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, takie że dla każdego n spełniony jest
warunek
.
Zad.12. (4p) Ciąg zdefiniowano rekurencyjnie:
a) Dla k=2 wyznacz sześć początkowych wyrazów tego ciągu.
b) Wyznacz wszystkie wartości k, dla których
.
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI
„ZDAJ MATMĘ NA MAKSA”
Zestaw nr 5– Poziom Rozszerzony
Zad.1. (1pkt) Ile dodatnich rozwiązań ma równanie
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zad.2. (1pkt) Dla każdego , wartość wyrażenia
A.
B. 1
C. 2
B.
C. 1
Zad.4. (1pkt) Wartość wyrażenia
A. 3
D. 0
?
Zad.3. (1pkt) Ile wynosi
A.
jest równa:
D. 5
, dla
B. 1,5
jest równa:
C. 1
D. 0,75
Zad.5. (1pkt) W jednokładności o środku w punkcie M i skali k = -4 obrazem punktu A=(4,5)
jest punkt A’=(-11,-25). Środkiem tej jednokładności jest punkt
A. M=(-8,-19)
B. M=(1,-1)
C. M=(-2,0)
D. M=(9,15)
Zad.6. (3pkt) Niech
. Wykaż, że
.
Zad.7. (4pkt) W okrąg wpisano kwadrat, który jest podstawą ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości. Wiedząc, że objętość
ostrosłupa jest równa 144 wyznacz długość promienia tego okręgu.
Zad.8. (5pkt) W pojemniku jest 10 kul białych. Funkcję f(n), n = 0, 1, 2, … określamy
następująco: dla danego n dokładamy n kul czerwonych do pojemnika i losujemy jedną kulę,
f(n) jest prawdopodobieństwem wylosowania kuli czerwonej. Wyznacz f(5) i f(10) oraz wzór
funkcji f(n). Wykaż, że funkcja f(n) jest rosnąca, a następnie wyznacz o ile istnieją- wartości
najmniejszą i największą.
Zad.9. (3pkt) Udowodnij, że nie istnieje taka liczba rzeczywista x, aby ciąg (sinx, cosx, ctgx)
był geometryczny.
Zad.10. (2pkt) Dany jest ciąg określony rekurencyjnie
.
Zakoduj sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu.
Zad.11. (5pkt) Dany jest ciąg
,
.
a) Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
b) Oblicz granicę tego ciągu.
c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, takie że dla każdego n spełniony jest
warunek
.
Zad.12. (4p) Ciąg zdefiniowano rekurencyjnie:
a) Dla k=2 wyznacz sześć początkowych wyrazów tego ciągu.
b) Wyznacz wszystkie wartości k, dla których
.
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI
„ZDAJ MATMĘ NA MAKSA”
Zestaw nr 6– Poziom Rozszerzony
Zad.1. (6p) Narysuj wykres funkcji
. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których
równanie
a) nie ma rozwiązań,
b) ma dwa rozwiązania różnych znaków.
Zad.2. (5p) Rozwiąż równanie
dla
.
Zad.3. (5p) Rozwiąż nierówność
Zad.4. (1p) Ile rozwiązań ma równanie
Zad.5. (2p) W nieskończonym ciągu geometrycznym
pierwszy wyraz
jest równy ,
a czwarty wyraz jest równy . Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zakoduj cyfrę
jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby.
Zad.6. (2p) Wyznacz największą liczbę będącą rozwiązaniem równania
,
. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku
należącą do przedziału
rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby. Do obliczeń przyjmij
Zad.7. (4p) Dana jest funkcja
Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
Zad.8. (2p) Rozwiąż równanie
dla każdej liczby rzeczywistej
w przedziale
.
Zad.9. (4p) Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa
sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.
Zad.10. (4p) Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach
i
oraz jest styczny do prostej l w punkcie
, gdzie
. Wyznacz
równanie prostej l.