Matematyka – wykład 2-2

Matematyka – wykład 2-2
Elementy teorii mnogości
06.03.2015
Elementy teorii mnogości
zbiór elementów
oznaczenia: A, B, ...
a ∈ A (a naleŜy do A)
b
A
a
b ∉ A (b nie naleŜy do A)
∅ – zbiór pusty
N, Z, Q, R, C – podstawowe zbiory liczbowe
inkluzja zbiorów ( ⊂ )
A ⊂ B ⇔ ∀ x: ( x ∈ A ⇒ x ∈ B )
Tw:
∅⊂A
A⊂A
równość zbiorów A = B ⇔ ( A ⊂ B ∧ B ⊂ A )
Zbiory skończone i nieskończone
Przykłady:
b
A = {2, 3, 4, 5 }
B = { n ∈ N: 3 | n }
B = ...
B
? A ⊂ B ...
A – zbiór skończony, B – zbiór nieskończony
A
a
Def: A – zbiór skończony ⇔ ∃ n ∈ N : A = { a1, a2, ..., an }
n – moc (liczba elementów) zbioru A
=
A = n
Def: A – ustalony zbiór
2 = { B: B ⊂ A } rodzina (zbiór) podzbiorów zbioru A
A
Działania mnogościowe
Def: sumy mnogościowej zbiorów A i B
A ∪ B = { x: ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) }
Def: iloczynu mnogościowego zbiorów A i B
A ∩ B = { x: ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) }
Def: róŜnicy mnogościowej zbiorów A i B
X – ustalony zbiór (przestrzeń); A ⊂ X, B ⊂ X
A / B = { x: ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B ) }
Def: X – ustalony zbiór (przestrzeń); A ⊂ X
A‘= X / A – dopełnienie zbioru A do zbioru X
Schematy Venna
A
A
A∪B
B
A∩B
A
A
A‘
A\B
B
B
A‘
Własności działań mnogościowych
Tw: A – dowolny zbór
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A∪A=A
A∪∅=A
A∩A=A
A∩∅=∅
A/∅=A
∅/A=∅
Tw: A, B, C – dowolne zbiory
(1)
(2)
(3)
(4)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B ) ∩ C
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C)
Tw: A, B – dowolne zbiory
(1) A ∪ B = B ∪ A
(2) A ∩ B = B ∩ A
Prawa de Morgana dla zbiorów
Tw: X – ustalony zbiór (przestrzeń); A ⊂ X, B ⊂ X
(1) ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’
(2) ( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’
(prawa de Morgana dla rachunku zbiorów)
Przypomnienie – rachunek zdań
negacja koniunkcji:
∼ (p ∧ q) ⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)]
negacja alternatywy: ∼ (p ∨ q) ⇔ [(∼ p) ∧ (∼ q)]
(prawa de Morgana dla rachunku zdań)
Zbiory liczbowe – (1)
Tw: N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R
Tw: ∀ a, b ∈ R: ( a < b ) ∨ ( a = b ) ∨ ( b < a )
Def: A ⊂ R, A – niepusty zbiór liczb rzeczywistych (A ≠ ∅)
A – zbiór ograniczony od góry ⇔ ∃ M∈R: ∀ a∈A: (a < M)
A – zbiór ograniczony od dołu ⇔ ∃ m∈R: ∀ a∈A: (m < a)
A – zbiór ograniczony ⇔ A – ograniczony od góry i od dołu
Def: A ⊂ R, A ≠ ∅, A – zbiór ograniczony od góry
max A = M ⇔ (∀
∀ a ∈ A: a ≤ M) ∧ M ∈ A
Def: A ⊂ R, A ≠ ∅, A – zbiór ograniczony od dołu
min A = m ⇔ (∀
∀ a ∈ A: m ≤ a) ∧ m ∈ A
Zbiory liczbowe – (2)
Def: A ⊂ R, A ≠ ∅, A – zbiór ograniczony od góry (od dołu)
sup A = M ⇔ (∀
∀ a ∈ A: a ≤ M) ∧ M = minB, gdzie B jest
zbiorem liczb ograniczających zbiór A od góry
sup A – supremum (kres górny) zbioru A
inf A = m ⇔ (∀
∀ a ∈ A: m ≤ a) ∧ m = maxB, gdzie B jest
zbiorem liczb ograniczających zbiór A od dołu
inf A – infimum (kres dolny) zbioru A
Def: A ⊂ R, A ≠ ∅
A – zbiór gęsty ⇔ ∀ a,b ∈ A: [(a< b) ⇒ (∃ c∈A: a< c < b) ]
a
c
b
Przedziały liczbowe
Przedziały liczbowe
a, b ∈ R; a < b
(a; b) = { x∈R: (a < x) ∧ (x<b) } = { x ∈ R: a < x < b }
<a; b> = ...
<a; b) = ...
(a; b> = ...
( -∞; a) = { x∈R: x < a }
( -∞; a> = ...
(a; +∞) = { x∈R: x > a }
<a; +∞) = ...
Ćwiczenie:
1. Uzupełnić określenia podanych
przedziałów
2. Które z tych przedziałów są:
a) ograniczone (od góry /od dołu)?
b) nieograniczone?
3. Dla którego z przedziałów istnieje
(oraz o jakiej wartości):
a) kres górny?
b) kres dolny?