elalg1

Elementy algebry.
Macierze i wyznaczniki.
Def.1
Macierzą A wymiaru m x n, gdzie m, nN, nazywamy prostokątną tablicę
złożoną z m ∙ n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n kolumnach:
 a11 a12
a
a22
21

A
 


am1 am 2
... a1n 
... a2 n 
...   .

... amn 
Macierze oznaczamy dużymi literami z początku alfabetu.
Inne oznaczenia
,
.
Element stojący w i- tym wierszu oraz w j-tej kolumnie oznaczamy
Przykład:
 1 1 5 
A   0 9  5,
11 3 0,5
1  a 
b  2
,
B
 33 


c  2
4
6
8 
2
C

 1  3  5  7 
Def.2
Macierzą kwadratową nazywamy macierz, gdzie m = n.
.
Wartość n nazywany stopniem macierzy kwadratowej.
Def.3
Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa zawierająca na głównej
przekątnej 1, pozostałe elementy to 0.
1 0 ... 0
0 1 ... 0

In  
   ...  


0 0 ... 1
Def.4.
Dodawanie macierzy A i B o jednakowych(!) wymiarach m x n określamy
następująco:
, gdzie i=1,…,m; j=1,…,n.
Odejmowanie macierzy A i B o jednakowych(!) wymiarach m x n określamy
następująco:
, gdzie i=1,…,m; j=1,…,n.
Przykład:
 1 3 5 7 9
A
,

1
3

5
7
8


 1 0 5 0 9
B
,

1
3
5
7
8


 2 3 10 7 18
A B  

 2 6 0 14 16
0 3 0 7 0 
A B  

0 0  10 0 0
Def.5.
Mnożenie macierzy przez liczbę określamy następująco:
, gdzie i=1,…,m; j=1,…,n.
Fakt1.
Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami o jednakowych wymiarach (!), a k, l
dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A + B =B + A
k ∙(A + B)= k ∙ A + k ∙ B
1∙A=A
A + (B + C)= (A +B) +C
(k +l)∙ A= k ∙ A +l ∙ A
(k ∙ l) ∙ A= k ∙(l ∙ A)
Przykład:
1 2 0 
A
,
0
3

1


 1 0,5 1
B 
2 0
1
5( A  2 B )  4(2 A  B)  5 A  10B  8 A  4 B  13A  6 B 
13 26 0   6 3 6
 0 39  13   6 12 0 

 

7 29 6 


6 51  13
Def.6.
Niech A=
B=
ma wymiar m x n, a macierz
ma wymiar n x k.
Iloczynem macierzy A ∙ B nazywamy macierz C=
elementach otrzymanych według wzoru:
wymiaru m x k o
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ai 3b3 j  ...  ainbnj
,
gdzie i=1,…,m; j=1,…,k.
Przykład:
1 2
A
,

3 4
5 6 7
B

8 9 0
1  5  2  8 1  6  2  9 1  7  2  0   21 24 7 
C
  47 54 21
3

5

4

8
3

6

4

9
3

7

4

0

 

Fakt.2
Niech A, B, C będą macierzami o rozmiarach pozwalających na działanie.
Wówczas:
1. A ∙(B +C)=A ∙ B +A ∙ C
2. ( A +B)∙ C = A ∙ C + B ∙ C
3. A ∙(k ∙ B)=(k ∙ A)∙ B= k ∙( A ∙ B)
4. (A ∙ B)∙ C= A ∙(B ∙ C)
5. A ∙ In =A, In ∙ A= A
Przykład:
1 2
A
,
3 4
5 6
B

7 8 
19 22
A B  
,
43
50


23 34
B A 

31 46
A B  B  A
Def.7.
Niech A=
będzie macierzą m x n. Macierzą transponowaną do macierzy A
nazywamy macierz B=
AT .
o wymiarach n x m, gdzie
, oznaczamy ją
Przykład:
1 3 5 7 9 
A
,
2
4
6
8
0


1
3

T
A  5

7
9
2
4
6

8
0