Lista 3

Podstawy Teleinformatyki
Lista 3
Szeregi Fouriera
1
Aproksymacja funkcji w przedziale
Załóżmy ze mamy daną funkcję f (t). Chcemy aproksymować tę funkcję w przedziale t ∈ (t1 , t2 ) przy
pomocy innej funkcji cg(t), gdzie c ∈ R. Kryterium jakości aproksymacji Q definiujemy jako całkę:
1 Z t2
Q(c) =
(e(t, c))2 dt
t2 − t1 t1
(1)
gdzie wartość funkcji e(t, c) jest błędem aproksymacji w punkcie t i wynosi:
e(t, c) = f (t) − cg(t)
(2)
Zadanie aproksymacji polega na tym, aby dla danych funkcji f (t) i g(t) oraz przedziału (t1 , t2 ) znaleźć
taką wartość parametru c, dla którego wartość kryterium średniokwadratowego Q(c) (zdefiniowanego
przy pomocy wzorów 1 oraz 2) jest najmniejsza:
1 Z t2
(f (t) − cg(t))2 dt
Q(c ) = min
Q(c) = min
c
c t −t
2
1 t1
∗
(3)
Zadanie 1.1 Rozwiązać zadanie aproksymacji funkcji f (t) funkcją cg(t) w przedziale (t1 , t2 ) (wyznaczyć wzór na c∗ ) dla średniokwadratowego kryterium funkcji aproksymacji (wzór 3). Wyznaczyć
wartość Q(c∗ ).
Zadanie 1.2 Rozwiązać zadanie aproksymacji i wyznaczyć wartość kryterium dla następujących postaci funkcji f (t) i g(t) oraz przedziałów (t1 , t2 ):
a. f (t) = 2t2 , g(t) = t, (t1 , t2 ) = (0, 1)
b. f (t) = 2t2 , g(t) = t, (t1 , t2 ) = (1, 2)
(
c. f (t) =
1
−1
dla 0 < t < π
, g(t) = sin t, (t1 , t2 ) = (0, 2π)
dla π ¬ t < 2π
Definicja 1 Funkcje rzeczywiste f (t) i g(t) są do siebie ortogonalne w przedziale (t1 , t2 ), jeśli ich
iloczyn skalarny wynosi zero:
Z t2
(f, g) =
f (t)g(t) dt = 0
t1
1
Uwaga: Pojęcie ortogonalności funkcji można łatwo zrozumieć poprzez analogię do rachunku wektorowego, w którym dwa wektory ~u i ~v są ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zero
(~u, ~v ) = 0. Aproksymacja funkcji inną funkcją odpowiada tutaj znajdowaniu długości a składowej
wektora ~u leżącej wzdłuż wektora ~v . Oczywiście, jeśli wektory ~u i ~v są ortogonalne, to składowa
wektora ~u wzdłuż wektora ~v ma długość równą zeru (a = 0).
Zauważmy, że aby wyrazić dowolny n-elementowy wektor ~u ∈ Rn przy pomocy składowych leżących
wzdłuż wektorów ~v1 , ~v2 , ..., ~vn ∈ Rn , wystarczy wziąć n ortogonalnych wektorów ~v1 , ..., ~vn rozpinających przestrzeń Rn . Wtedy wekor ~u można jednoznacznie i bezbłędnie przedstawić jako kombinację
liniową wektorów ~v1 , ..., ~vn :
~u = a1~v1 + a2~v2 + ... + an~vn =
n
X
a1 , a2 , ..., an ∈ R
ai~vi ,
(4)
i=1
Wyrażenie wektora ~u przy pomocy mniejszej niż n liczby wektorów ortogonalnych lub też pewnej
liczby (na przykład m) wektorów nieortogonalnych może (lecz nie musi) powodować pewien błąd ~e.
Wektor ~e jest wektorem przesunięcia wektora ~u i wektora ~u0 powstałego poprzez kombinację liniową
pewnych wektorów ~v1 , ..., ~vm :
0
~e = ~u − ~u = ~u −
m
X
ai~vi
(5)
i=1
Podobnie jest w przypadku aproksymacji funkcji f (t) przy pomocy układu n funkcji g1 (t), ..., gn (t)
wzajemnie ortogonalnych w przedziale (t1 , t2 ). Im wiekszą weźmiemy liczbę funkcji n, tym dokładniejszą aproksymację funkcji f (t) możemy uzyskać.
Zadanie 1.3 Aproksymować funkcję f (t) w przedziale (t1 , t2 ) poprzez kombinację liniową n ortogonalnych funkcji g1 (t), g2 (t), ..., gn (t) używając średniokwadratowego ktryterium jakości (wyznaczyć
parametry c1 , c2 , ..., cn ):
f (t) ≈ c1 g1 (t) + c2 g2 (t) + ... + cn gn (t) =
n
X
ci gi (t)
i=1
2
Szeregi Fouriera
Twierdzenie 1 Jeśli układ funkcji wzajemnie ortogonalnych {gi (t)}i=1,2,... tworzy układ zupełny na
przedziale (t1 , t2 ), to ‘każdą’ funkcję f (t) można przedstawić na przedziale (t1 , t2 ) w postaci:
f (t) = c1 g1 (t) + c2 g2 (t) + ... =
∞
X
ci gi (t)
i=1
gdzie współczynniki c1 , c2 , ... wynoszą:
ci =
(f, gi )
(gi , gi )
Przedstawienie takie nazywamy szeregiem Fouriera.
Zwróćmy uwagę, że funkcji musi być nieskończenie wiele. Równość zachodzi jedynie na przedziale. W
przypadku nieciągłych funkcji f (t) równość nie jest gwarantowana w punktach nieciągłości.
2
2.1
Trygonometryczne szeregi Fouriera
Twierdzenie 2 Układ funkcji {1, cos(nω0 t), sin(nω0 t)}n=1,2,... tworzy zupełny układ funkcji ortogonalnych na przedziale (t0 , t0 + T ), T = ω2π0 .
Zauważmy, że parametry ω0 oraz t0 dobieramy swobodnie. Oznacza to, że ‘każda’ funkcja może zostać
przedstawiona na dowolnie wybranym przedziale (t0 , t0 + T ) w postaci trygonometrycznego szeregu
Fouriera:
∞
f (t) = a0 +
X
(an cos nω0 t + bn sin nω0 t)
(6)
n=1
Zadanie 2.1 Wyznaczyć współczynniki a0 , an , bn .
Zadanie 2.2 Rozwinąć w trygonometryczny szereg Fouriera następujące funkcje:
a. f (t) = at w przedziale t ∈ (0, T ), T = 1
(
b. f (t) =
2.2
1
−1
dla 0 < t < 21
w przedziale (0, 1).
dla 12 ¬ t < 1
Wykładnicze szeregi Fouriera
Definicja 2 Funkcje zespolone f (t) i g(t) są do siebie ortogonalne w przedziale (t1 , t2 ) jeśli ich
iloczyn skalarny wynosi zero:
(f, g) =
Z t2
∗
f (t)g(t) dt =
Z t2
f (t)g ∗ (t) dt = 0
t1
t1
Symbol ∗ oznacza sprzężenie funkcji zespolonej: ( (a + ib)∗ = a − ib ). Wzór na iloczyn skalarny funkcji
zespolonych jest uogólnieniem wzoru na iloczyn skalarny funkcji rzeczywistych.
Twierdzenie 3 Układ funkcji {einω0 t }n=0,±1,±2,... tworzy zupełny układ funkcji ortogonalnych na przedziale (t0 , t0 + T ), T = ω2π0 .
Oznacza to, że ‘każdą’ funkcję f (t) można przedstawić w dowolnie wybranym przedziale (t0 , t0 + T )
jako wykładniczy szereg Fouriera:
f (t) = ... + F−2 e−2iω0 t + F−1 e−iω0 t + F0 e0 + F1 eiω0 t + F2 e2iω0 t + ... =
∞
X
−∞
Zadanie 2.3 Wyznaczyć wartości współczynników Fn .
Zadanie 2.4 Rozwinąć w wykładniczy szereg Fouriera następujące funkcje:
a. f (t) = at w przedziale t ∈ (0, 1)
(
b. f (t) =
1
−1
dla 0 < t < 21
w przedziale (0, 1).
dla 12 ¬ t < 1
3
Fn einω0 t
(7)