8Geometria analityczna

Matematyka podstawowa VIII
Geometria analityczna
TEORIA
Zadania wprowadzające:
1. Zapisz równanie prostej w postaci ogólnej
a)
=2 +5
b)
=
−4
c) 3 − 5 = 8
2. Zamień równania z postaci ogólnej do postaci kierunkowej
a) 3 + 5 − 8 = 0
b) −2 + 7 = 0
c) 5 − 9 = 0
3. Oblicz odległość punktów A i B od siebie.
a) A=(2, -4), B=(-3, 5)
b) A=(-2, 1), B=(0, -3)
4. Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A=(-3, -4), B=(-2, 1), C=(3, 0)
a) Sprawdź, że | | = | |
b) Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny
5. Punkty A=(-1,-5), B=(3, -1), C=(2,4) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.
Oblicz długość ramienia tego trójkąta.
6. Punkty A=(1, 5), B=(14, 31), C=(4, 31) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca
wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie
D. Oblicz długość odcinka BD.
7. Oblicz środek odcinka AB, jeżeli A=(-3, 4), B=(3, -4).
8. Odcinek AB ma koniec A=(4, 7). Znajdź współrzędne końca B tak, aby środek
odcinka był S=(-2, 3).
9. Znajdź współrzędne końców odcinka AB, jeżeli A leży na osi OX, B na osi OY, a
środek S=(2, 3).
10. Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego
wierzchołkami są punkty A=(-2, -3), B=(4, 1), C=(-1, 3).
11. Oblicz odległość punktu C=(2, 3) od środka odcinka AB, gdzie A=(1, -2), B=(5, 4).
12. Wskaż równanie prostej, która może być prostą równoległą do prostej k, gdzie prosta
k ma równanie = −5 + 6
a)
=5 +6
b)
=
c)
=
+6
d)
= −5
13. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt (2, 3) i równoległej do prostej
2 − 6 − 10 = 0
14. Które z podanych prostych są prostopadłe?
a)
=3 −2
=2 +5
b)
=2 −2
=−
+8
15. Wskaż równanie symetralnej odcinka mającego końce w punktach A=(4,-6) i B=(-2,
6).
16. Oblicz pole trójkąta równobocznego o wierzchołkach A=(-4, 4) i B=(5, 8).
17. Wyznacz długość wysokości trójkąta równoramiennego o wierzchołkach
A=(2, -5), B=(-4, 2), C=(4, 4)
18. Punkt A=(-1, 1) jest środkiem kwadratu, a punkt B=(2, 0) jego wierzchołkiem. Jaką
długość ma bok tego kwadratu?
19. Zapisz równanie okręgu o środku S=(2, 3), r=4.
20. Wyznacz równanie okręgu stycznego do OY i środku S=(-2, 4).
21. Wyznacz równanie okręgu stycznego do OX i środku S=(3, -4)
22. Wyznacz współrzędne środka okręgu o równaniu ( − 1) + ( + 5) = 7.
Zadania:
1. Prosta = + 4 przecina okrąg o równaniu ( + 1) + ( − 2) = 25 w punktach A
i B. Oblicz współrzędne punktów A i B, a następnie oblicz obwód trójkąta ABS, gdzie
S jest środkiem danego okręgu.
2. Dany jest okrąg o równaniu ( + 4) + ( − 6) = 100. Środek tego okręgu ma
współrzędne
a) (-4, -6)
b) (4, 6)
c) (4, -6)
d) (-4, 6)
3. Punkty B=(-2, 4) i C=(5, 1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD.
Pole tego kwadratu jest równe
a) 74
b) 58
c) 40
d) 29
4. Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma
postać:
a) ( − 2) + ( − 1) = 9
b) ( − 2) + ( − 1) = 3
c) ( + 2) + ( + 1) = 9
d) ( + 2) + ( + 1) = 3
5. Punkt S(2, 7) jest środkiem odcinka AB, w którym A(-1, 3). Punkt B ma współrzędne
a) B=(5, 11)
b) B=( , 2)
c) B=(− , −5)
d) B=(3, 11)
6. Punkty A=(2, 11), B=(8, 23), C=(6, 14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta
poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne
punktu D.
7. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(-2, 2), B=(2, 10).
8. Punkt A ma współrzędne (5, 2012). Punkt B jest symetryczny do punktu A względem
osi OX, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi OY. Punkt C ma
współrzędne
a) (-5, -2012)
b) (-2012, -5)
c) (-5, 2012)
d) (-2012, 5)
9. Na okręgu o równaniu ( − 2) + ( + 7) = 4 leży punkt
a) A=(-2, 5)
b) B=(2, -5)
c) C=(2, -7)
d) D=(7, -2)
10. Odległość środka okręgu od prostej jest równa 0. Zatem liczba punktów wspólnych
okręgu i prostej jest równa:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
11. Środek okręgu o równaniu ( + 2) + ( − 3) = 5 ma współrzędne
a) (2, 3)
b) (2, -3)
c) (-2, 3)
d) (-2, -3)
12. Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek
większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa
a) 5
b) 12
c) 17
d) 29
13. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(1, 8) i stycznego do obu osi
układu współrzędnych. Rozwiąż wszystkie przypadki.
= 4 z prostą o
14. Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu ( − 1) +
równaniu = −1 jest równa
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3