Estymacja przedziałowa - Uniwersytet Zielonogórski

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Metody analizy danych – ćwiczenia
Estymacja przedziałowa
Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania:
1. Dom handlowy prowadzący również sprzedaż ratalną ustalił, że wśród wylosowanych
81 klientów dokonujących zakupów na raty średnia wielkość jednorazowej sprzedaży
wyniosła 680 zł. Z poprzednich lat wiadomo, że odchylenie standardowe zakupów ratalnych wynosi 270 zł. Z prawdopodobieństwem 0.95 należy oszacować przeciętną wielkość
sprzedaży ratalnej tego domu handlowego.
2. Pewne niewielkie przedsiębiorstwo brokerskie chec ustalić przeciętne obroty dzienne na
podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych. Średnia wartość dzienna zrealizowanej sprzedaży w badanej próbie wyniosła 139 tys. zł., a odchylenie standardowe
12 tys. zł. Z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio 0.95 i 0.99 oszacować
przeciętne dzienne obroty sprzedaży w tym przedsiębiorstwie brokerskim.
3. Dla potrzeb oszacowania średniego trwania życia kineskopów pewnej klasy telewizorów
wylosowano 7 kineskopów. Poniższe dane są długościami trwania życia wylosowanych
kineskopów:
8.1
7.9
9.6
6.4
8.7
8.8
7.9
tys. godz.
Na poziomie ufności 90% oszacować przeciętne trwanie życia kineskopów badanej klasy
telewizorów.
4. Odchylenie standardowe dziennej sprzedaży pewnego produktu powszechnego użytku
wynosi 70 szt. Przez ile dni powinna być obserwowana sprzedaż tego produktu dla
potrzeb oszacowania średniej dziennej sprzedaży, przy poziomie ufności 0.9 oraz błędzie
szacunku nie wyższym niż 12 szt.?
5. Zbadano wydajność pewnej odmiany pomidorów na 10 poletkach doświadczalnych. W
wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność w tonach na hektar x̄ = 25 oraz
s2 = 6.25. Przyjmując, że rozkład plonów jest normalny, oszacować metodą przedziałową przeciętne plony na poziomie ufności 0.99.
6. Na podstawie badań wiadomo, że długowieczność opon pewnego typu ma rozkład normalny N (m, 8000 km). Testowano próbę 64-elementową, dla której wartością średnią
jest x̄ = 40000 km. Określić przedział ufności dla m na poziomie ufności 0.90.
1
7. Przyjmuje się, że iloraz inteligencji dzieci w pewnym wieku jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (m, σ). W wyniku testowania próby 10 dzieci otrzymano wartości
x̄ = 90 oraz s = 5. Określić przedział ufności dla m na poziomie ufności 0.95.
8. Inżynier zaprojektował urządzenie do rehabilitacji po przebyciu pewnej choroby. Pacjenci testujący te maszynę potrzebowali następujących czasów ćwiczeń (w godzinach),
żeby w pełni dojść do formy:
8 12 26 10 23 21
16 22 18 17 36 9
Skonstruować 99% przedział ufności dla oczekiwanego czasu potrzebnego na dojście do
formy.
9. Producent baterii testuje nowy typ produktu. Eksperyment polega na podlączeniu
każdej baterii nowego typu równolegle z baterią typu starego. Poniższe rezultaty są
zaobserwowaną liczbą godzin, przez które nowa bateria pracowała dłużej niż stara:
5 −4 10 15 11
−5
0 8 12 14
25 −5
8
1
17
5
Skonstruować 95% przedział ufności dla średniego czasu dłuższej pracy nowych baterii.
10. Towarzystwo ubezpieczeniowe ustala wysokości odszkodowań dla samochodów w zależności od ich wartości giełdowej. W celu ustalenia takiej wartosći dla Fiata 126 EL
z 1997 r. zanotowano ceny 25 transakcji kupna, otrzymując średnią cenę (z marca
1999 r.) równą 9 tys. PLN i odchylenie standardowe 1 tys. PLN. Oszacować metodą
przedziałową średnią cenę tego typu samochodu. Przyjąć poziom ufności 1 − α = 0, 95.
11. Właściciel przedsiębiorstwa „Fitness” ma zamiar wprowadzić dodatkowe ćwiczenia
gimnastyczne dla swoich klientów. W tym celu zamierza zakupić specjalne urządzenie sportowe. Na podstawie próby wylosowanych 200 klientów tego przedsiębiorstwa
ustalono, że 160 osób chciałoby stosować to urządzenie. Oceń z 95% wiarygodnością
odsetek wszystkich klientów chcących ćwiczyć na nowym urządzeniu.
12. Właściciel sklepu z artykułami żywnościowymi chce ustalić procent swoich stałych
klientów spośród ogółu klientów jego sklepu. Jak liczną próbę powinien wylosować,
aby z prawdopodobieństwem 95% maksymalny błąd szacunku nie przekraczał 5%?
13. W ostatnich wyborach prezydenckich w próbie liczącej 120 głosujących w pewnej komisji wyborczej znalazło się 30 osób w wieku 25 lat lub mniej. Z prawdopodobieństwem
98% zbuduj przedział ufności dla odsetka młodych wyborców (25 lat lub mniej) spośród
ogółu głosujących w tym obwodzie.
14. W sondażu telefonicznym przeprowadzonym wśród wylosowanych 169 osób firma reklamowa ustaliła, że 48 osób spośród badanych zapamiętało ostatni slogan reklamowy
związany z wprowadzeniem nowego produktu na rynek. Z 90% wiarygodnością należy
2
oszacować procent widzów telewizyjnych, którzy zapamiętali omawiany tekst reklamy
telewizyjnej.
15. Firma produkująca sprzęt komputerowy chce ustalić odsetek przedsiębiorstw będących
potencjalnymi nabywcami ich produktu. wiadomo, że szacunkowy procent przedsiębiorstw chcących nabyć komputer tej firmy wynosi około 75%. Co najmniej ile przedsiębiorstw powinno znaleźć się w próbie losowej dla każdego z poniżej podanych maksymalnych błędów szacunku i 95% współczynnika ufności?
a) 10%
b) 7.5%
c) 5%
d) 3%
Co można powiedzieć o minimalnej liczebności próby w miarę zmniejszania się maksymalnego błędu szacunku?
16. Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę można uznać za cechę o rozkładzie
N(µ,σ), wylosowano do próby 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę:
Kwartalne wydatki (w tys. PLN) 0-5 5-10 10-15 15-20
Liczba zakładów
10
20
40
30
Wyznaczyć na poziomie ufności 0.96 przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych
wydatków na reklamę. Jaka będzie dokładność oszacowania, gdy poziom ufności będzie
równy 0.9? Dokonać szacowania odchylenia standardowego wydatków na reklamę, na
poziomie ufności 0.95. Następnie oszacować na poziomie ufności 0.99, jaki procent
zakładów usługowych wydaje na reklamę przynajmniej 10 tys. PLN. Jaka powinna
być minimalna liczebność próby, niezbędna do oszacowania ww. odsetka zakładów,
aby maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 2%, jeśli:
a) traktujemy dostępne dane jako wyniki wstępnej próby,
b) nie mamy żadnych informacji o rzędzie wielkości szacowanego procentu.
17. Na pewnym osiedlu przeprowadzono pomiary powierzchni mieszkań i uzyskano wyniki:
Powierzchnia w m2
Liczba mieszkań
30-40 40-50 50-60 60-70
50
40
20
10
Wyznaczyć przedział ufności dla procentu mieszkań o powierzchni powyżej 50 m2 , na
poziomie ufności 0.99. Ile mieszkań należałoby poddać badaniu, aby oszacować procent
mieszkań o powierzchni od 40 do 60 m2 z maksymalnym błędem 5%, na poziomie
ufności 0.96? Wyznaczyć 95% przedział ufności dla wartości przeciętnej µ i wariancji
σ powierzchni mieszkań na tym osiedlu.
18. Zakładamy, że czas pracy żarówek produkowanych przez firmę POLAM ma rozkład
N(750,σ). Na podstawie 16-elementowej próby losowej otrzymano S22 = 2500. Wyznaczyć 98% przedział ufności dla odchylenia standardowego czasu pracy żarówek.
3
19. Zakładamy, że waga detali ma rozkład normalny. Na podstawie 10 losowo wybranych
detali wyznaczono odchylenie standardowe wagi tych detali S = 0.5 kg. Na poziomie
ufności 0.98 wyznaczyć przedział ufności dla wariancji detali. Jaki to będzie przedział
ufności, gdy (1−α) = 0.9? Ile elementów należałoby dolosować do próby, aby oszacować
średnią wagę detalu, z dokładnością do 0.1 kg na poziomie ufności 0.98?
20. Na podstawie 64 losowo wybranych wyrobów z bieżącej produkcji otrzymano średnią liczbę usterek równą 3 oraz współczynnik zmienności 57%. Oszacować metodą
przedziałową przeciętną liczbę usterek w produkowanych wyrobach na poziomie ufności 0.98. Oszacować odchylenie standardowe liczby usterek przyjmując poziom ufności
0.95, założyć rozkład normalny.
4
x
1 Z −t2 /2
Tabela 1: Rozkład normalny: Wartości funkcji Laplace’a Φ(x) = √
e
dt.
2π −∞
x
Φ(x)
0.00 .500
0.05 .520
0.10 .540
0.15 .560
0.20 .579
0.25 .599
0.30 .618
0.35 .637
0.40 .655
0.45 .674
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
0.50 .691 1.00 .841 1.50 .933 2.00 .977 2.50 .9938 3.00 .9986
0.55 .709 1.05 .853 1.55 .939 2.05 .980 2.55 .9946 3.05 .9988
0.60 .726 1.10 .864 1.60 .945 2.10 .982 2.60 .9954 3.10 .9990
0.65 .742 1.15 .875 1.65 .951 2.15 .984 2.65 .9960 3.15 .9992
0.70 .758 1.20 .885 1.70 .955 2.20 .986 2.70 .9966 3.20 .9993
0.75 .773 1.25 .894 1.75 .960 2.25 .988 2.75 .9970 3.25 .9994
0.80 .788 1.30 .903 1.80 .964 2.30 .989 2.80 .9974 3.30 .9995
0.85 .802 1.35 .911 1.85 .968 2.35 .991 2.85 .9978 3.35 .9996
0.90 .816 1.40 .919 1.90 .971 2.40 .992 2.90 .9982 3.40 .9996
0.95 .829 1.45 .926 1.95 .974 2.45 .993 2.95 .9984 3.45 .9997
Tabela 2: Rozkład Studenta: W r-tym wierszu tablicy podano takie wartości tα , że
Ztα
fr (x) dx = 1 − α, gdzie: fr (x) – gęstość rozkładu Studenta o r stopniach swobody.
−tα
r α = 0.05
1 12.706
2
4.303
3
3.182
4
2.776
5
2.571
6
2.447
7
2.365
8
2.306
9
2.262
10
2.228
11
2.201
12
2.179
13
2.160
14
2.145
15
2.131
α = 0.01
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
r α = 0.05 α = 0.01
16
2.120
2.921
17
2.110
2.898
18
2.101
2.878
19
2.093
2.861
20
2.086
2.845
21
2.080
2.831
22
2.074
2.819
23
2.069
2.807
24
2.064
2.797
25
2.060
2.787
26
2.056
2.779
27
2.052
2.771
28
2.048
2.763
29
2.045
2.756
30
2.042
2.750
5
Tabela 3: Rozkład chi-kwadrat: w k-tym wierszu podano takie wartości χ2α , dla których
jest spełniony warunek P (χ2k ­ χ2α ) = α, gdzie k - ilość stopni swobody rozkładu
P
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.99
0.95
0.90
0.80
0.50
0.30
0.20
0.10
0.05
0.02
0.01
0.000
0.020
0.115
0.297
0.554
0.872
1.239
1.646
2.088
2.588
3.052
3.571
4.107
4.660
5.229
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.12
10.85
0.016
0.211
0.584
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.08
10.86
11.65
12.44
0.064
0.446
1.005
1.649
2.343
3.070
3.822
4.594
5.380
6.179
6.989
7.807
8.634
9.467
10.31
11.15
12.00
12.86
13.72
14.58
0.455
1.386
2.366
3.357
4.351
5.348
6.346
7.344
8.343
9.342
10.34
11.34
12.34
13.34
14.34
15.34
16.34
17.34
18.34
19.34
1.074
2.408
3.665
4.878
6.064
7.231
8.383
9.524
10.66
11.78
12.90
14.01
15.12
16.22
17.32
18.42
19.51
20.60
21.69
22.77
1.642
3.219
4.642
5.989
7.289
8.558
9.803
11.03
12.24
13.44
14.63
15.81
16.98
18.15
19.31
20.46
21.61
22.76
23.90
25.04
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.64
12.02
13.36
14.68
15.99
17.27
18.55
19.81
21.06
22.31
23.54
24.77
25.99
27.20
28.41
3.841
5.991
7.815
9.488
11.07
12.59
14.07
15.51
16.92
18.31
19.67
21.03
22.36
23.68
25.00
26.30
27.59
28.87
30.14
31.41
5.412
7.824
9.837
11.67
13.39
15.03
16.62
18.17
19.68
21.16
22.62
24.05
25.47
26.87
28.26
29.63
30.99
32.35
33.69
35.02
6.635
9.210
11.34
13.28
15.09
16.81
18.47
20.09
21.67
23.21
24.72
26.22
27.69
29.14
30.58
32.00
33.41
34.80
36.19
37.57
6