Zestaw SM3

Zestaw SM3
1. Firma AIRSPACE SA chce oszacować przeciętny czas, jaki jest potrzebny nowemu typowi produkowanego przez firmę samolotu do wzniesienia się z poziomu morza na wysokość
12500 m. Z poprzednich doświadczeń inżynierowie firmy wiedzą, że odchylenie standardowe
czasu wznoszenia się na tę wysokość wynosi 2 minuty. W próbie 100 losowo wybranych
wzlotów, stwierdzono, że średnia z próby wynosi 22 minuty. Ustalić 95% procentowy przedział wznoszenia się samolotu na wysokość 12500m.
2. Inwestor chce oszacować ryzyko pewnego przedsięwzięcia, które przynosi losowy zysk o
rozkładzie normalnym. Ryzyko jest mierzone odchyleniem standardowym z zysku. Po obliczeniu średniej i wariancji z próby prostej złożonej z n = 17 zysków z przeszłości, otrzymano
__
następujące wyniki X = 1500$ , S 2 = 64516$ . Podać przedział dla oczekiwanego a) zysku, b)
ryzyka na poziomie ufności 0,99.
3. W celu zbadania czasu hamowania nowej ulepszonej wersji samochodu znanej marki
wykonano n = 100 pomiarów, a następnie obliczono średni czas hamowania w sekundach
__
Xn =
1 n
∑ X i = 4,26
n i =1
i wariancję z próby ( w sekundach do kwadratu)
S n2 =
__
1 n
( X i − X ) 2 = 1,1 .
∑
n i =1
Znaleźć realizację przedziału ufności na poziomie ufności 0,9 dla wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego z czasu hamowania. Porównać wyniki po zmianie poziomu na
1 − α = 0,95 .
4. Przeciętne roczne oszczędności gospodarstwa domowego w Nibylandii wynoszą 9,5%
rocznego dochodu. Informacja pochodzi z próby 5000 gospodarstw domowych a odchylenie
standardowe w populacji wynosi 1,5% . Wyznaczyć 90% przedział ufności dla przeciętnego
udziału oszczędności w dochodzie nibylandzkiego gospodarstwa domowego.
5. Astronauci badający nieznaną planetę przekazali informację na temat spotkanych na niej
przedstawicieli nieznanej cywilizacji. Dowiedzieli się, że wzrost istot ma rozkład normalny.
Ponadto na podstawie próby prostej o liczności n = 26 i po obliczeniu przedziału ufności na
poziomie 0,9 otrzymali następujący wynik: (162;178). Przekazali na Ziemię informację, że
zaprzyjaźniają się z „elementami z próby”. Mieli właśnie podać średni wzrost i wariancję
wzrostu w badanej próbie, kiedy rozległ się trzask i połączenie uległo przerwaniu. Ponieważ
informacja o średnim wzroście i wariancji wzrostu w badanej przez nich próbie może mieć
znaczenie dla przebiegu ewentualnej akcji ratunkowej członkowie ekipy naziemnej wyznaczyli te wartości. Ile one wynosiły?
6. W pliku Notowania_zadanie SM3.6 znajdują się dane dotyczące dziennych kursy zamknięcia spółek Agora i TVN. Wyznacz dzienne procentowe stopy zwrotu rt korzystając ze
wzoru
rt =
100( pt − pt −1 )
.
pt
Przyjmując upraszczające założenie, że rozkład stóp zwrotu z akcji jest normalny wyznacz dla
stóp zwrotu każdej ze spółek 99% przedziały ufności dla średniej i wariancji.
7. Czas (w sekundach) czekania na zgłoszenie się abonenta do centrali telefonicznej ma rozkład normalny z wariancją σ 2 = 81 . Ile niezależnych pomiarów należy wykonać, aby obliczony na ich podstawie przedział ufności czasu czekania na abonenta należy wykonać, aby
obliczony na ich podstawie przedział ufności na poziomie ufności 0,99 dla wartości oczekiwanej czasu czekania miał długość mniejszą od czterech sekund.
8. Wyjaśnić, dlaczego klasyczna statystyka nie pozwala określać przedziału ufności jako
przedziału, do którego szacowany parametr należy z określonym prawdopodobieństwem.
9. Jesteś statystykiem w firmie. W wyniku Twoich badań został ustalony 95% przedział ufności dla średniej w pewnej populacji. Twój pracodawca uważa, że ten przedział jest za szeroki na to, by był użyteczny w sytuacji, do której ma być wykorzystany. Omów sposoby rozwiązania tego problemu.
10. Wylosowano 100 firm i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę (w tys. zł):
Kwartalne wydatki na reklamę 0-5 5-10 10-15 15-20
Liczba firm
10
20
40
30
Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę mają rozkład normalny, oszacować metodą
przedziałową odchylenie standardowe wydatków na reklamę na poziomie ufności 0,95.
11. W pliku Studenci_zadanie_SM3.11 znajdują się dane na temat liczby godzin poświęconych w tygodniu na odrabianie zadań domowych przez studentów WIGE i WE. Przyjmij założenie, że czas poświęcany przez studentów na zadania domowe ma rozkład normalny i
oceń, czy może być prawdziwe twierdzenie, że dla studentów WIGE przeciętny czas odrabiania zadań domowych jest o 10 godzin dłuższy niż dla studentów WE. Przyjmij 99% poziom
ufności.
12. Pośrednik handlu nieruchomościami chce oszacować średnią wartość domu mieszkalnego
o określonej powierzchni w pewnej dzielnicy. Pośrednik jest przekonany, że odchylenie standardowe wartości domu wynosi σ = 5500$ i że rozkład wartości domów jest w przybliżeniu
normalny. W losowej próbie 16 domów średnia wyniosła 89673,12$. Wyznaczyć a) 95%
przedział ufności dla średniej wartości domu w tej dzielnicy, b) 99% przedział ufności dla
średniej wartości domu w tej dzielnicy.
13. Plik Żarówki_zadanie_SM3.13 zawiera dane dotyczące czasu (w tysiącach godzin) świecenia pewnego typu żarówek. Dane pochodzą z testów przeprowadzanych przez producenta.
Ustal 99% przedział ufności dla średniego czasu świecenia żarówki badanego typu. Uzasadnij
przyjęta metodę postępowania.
14. Firma rozważa zainstalowanie faksu w jednym ze swoich biur. Przed podjęciem decyzji
szef firmy chce oszacować przeciętną liczbę dokumentów, która będzie dziennie wysyłana za
pomocą zainstalowanego urządzenia. Na podstawie informacji z innych biur szef uważa, że
odchylenie standardowe liczby dokumentów wysyłanych dziennie wynosi 32. Jest też przekonany, że liczba dokumentów wysyłanych dziennie w ten sposób jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Zbadano 15 losowo wybranych dni. Średnia liczba dokumentów wysyłanych dziennie okazała się równa 267 sztuk. Ustalić 99% przedział ufności dla przeciętnej
liczby dokumentów wysyłanych dziennie z tego biura, o ile faks zostałby w nim zainstalowany.
15. Przy danych do poprzedniego zadania (14) rozpatrz sytuację, w której szef firmy byłby
zainteresowany zainstalowaniem faksu, gdyby mógl mieć zaufanie do tego, ze przeciętna
liczba dokumentów wysyłanych dziennie przekroczy 245 sztuk. Czy wynik uzyskany w poprzednim zadaniu usprawiedliwiałby zainstalowanie faksu? Dlaczego?
16. Załóżmy, że p ⋅100% ( 0 ≤ p ≤ 1 ) wyborców jest zdecydowanych poprzeć danego kandydata w najbliższych wyborach. Wartość p jest nieznana. W celu oszacowania p przeprowadzamy ankietę, w której można udzielić tylko odpowiedzi TAK (poprę ) albo NIE (nie poprę). Załóżmy, że K spośród n, ( n ≥ 100 ) osób odpowie TAK. Wyznaczyć 100(1 − α )%
przedział ufności dla parametru p.