Zadania do przerobienia po zajęciach

Zadania do przerobienia po zajęciach - pierwszy tydzień C01
Zadanie 1 (10). Niech (X1 , d1 ) oraz (X2 , d2 ) będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że jeśli
ciąg funkcyjny (fn )n∈N funkcji ciągłych fn : X1 → X2 dla n ∈ N jest jednostajnie zbieżny do funkcji
f : X1 → X2 , to f jest funkcją ciągłą.
Zadanie 2. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących ciągów funkcyjnych:
x
1
dla
x
∈
R
b)(10)
f
(x)
=
dla x ∈ R,
a)(5) fn (x) =
n
1 + nx2
1 + nx2
c)(10) fn (x) = xn (1 − x) dla x ∈ [0, 1] d)(10) fn (x) = n3 xn (1 − x)2 dla x ∈ [0, 1].
Zadanie 3. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących szeregów funkcyjnych:
a)(15)
∞
X
(−1)n+1
dla x ∈ R b)(5)
nx
n=1
∞
X
x
dla x ∈ R.
4 2
n=1 1 + n x
Zadania do przerobienia po zajęciach - pierwszy tydzień C02
Zadanie 1 (10). Niech (X1 , d1 ) oraz (X2 , d2 ) będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że jeśli
ciąg funkcyjny (fn )n∈N funkcji ciągłych fn : X1 → X2 dla n ∈ N jest jednostajnie zbieżny do funkcji
f : X1 → X2 , to f jest funkcją ciągłą.
Zadanie 2. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących ciągów funkcyjnych:
4x
1
dla x ∈ R
b)(10) fn (x) =
dla x ∈ R,
a)(5) fn (x) =
2
4
1+n x
4 + nx2
c)(10) fn (x) = xn (1 − x2 ) dla x ∈ [0, 1] d)(10) fn (x) = n5 xn (1 − x)3 dla x ∈ [0, 1].
Zadanie 3. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących szeregów funkcyjnych:
∞
X
(−1)n+1
a)(10)
dla x ∈ R b)(5)
2
n=1 n + x
∞
X
sin nx
dla x ∈ R.
n!
n=1
Zadania do przerobienia po zajęciach - pierwszy tydzień C03
Zadanie 1 (10). Niech (X1 , d1 ) oraz (X2 , d2 ) będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że jeśli
ciąg funkcyjny (fn )n∈N funkcji ciągłych fn : X1 → X2 dla n ∈ N jest jednostajnie zbieżny do funkcji
f : X1 → X2 , to f jest funkcją ciągłą.
Zadanie 2. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących ciągów funkcyjnych:
1
2x
a)(5) fn (x) =
dla x ∈ [0, 1]
b)(10) fn (x) =
dla x ∈ R,
n
1+x
1 + n 2 x2
c)(10) fn (x) = xn (1 − x)n dla x ∈ [0, 1] d)(10) fn (x) = n2 xn (1 − x) dla x ∈ [0, 1].
Zadanie 3. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących szeregów funkcyjnych:
a)(5)
∞
X
(−1)n
dla x ∈ R b)(10)
2x
n=1
∞
X
n=1
2n sin
x
dla x ∈ R.
3n
Zadania do przerobienia po zajęciach - pierwszy tydzień C04
Zadanie 1 (10). Niech (X1 , d1 ) oraz (X2 , d2 ) będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że jeśli
ciąg funkcyjny (fn )n∈N funkcji ciągłych fn : X1 → X2 dla n ∈ N jest jednostajnie zbieżny do funkcji
f : X1 → X2 , to f jest funkcją ciągłą.
Zadanie 2. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących ciągów funkcyjnych:
a)(5)
fn (x) =
nx2
dla x ∈ [0, 1]
1 + nx
b)(10)
c)(10) fn (x) = nxn (1 − x)2 dla x ∈ [0, 1]
fn (x) =
2x
dla x ∈ R,
1 + 2n2 x2
h
i
d)(10) fn (x) = cosn x(1 − cosn x) dla x ∈ 0, π2 .
Zadanie 3. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących szeregów funkcyjnych:
a)(5)
∞
X
(−1)n
dla x ∈ R b)(10)
2x
n=1
∞
X
i
h
n2
√ (xn + x−n ) dla x ∈ 21 , 2 .
n!
n=1
Literatura
[1] Konrad Knopp, Theorie und Anwendung der unendlishen Reihen, Springer Verlag, Berlin und
Heidelberg 1947.
[2] Heinrich Dörrie, Unendliche Reihen, Verlag von R. Oldenburg, München 1951.
[3] Steven C. Krantz, A Handbook of Real Variables, Birhäuser Verlag, Boston 2004,
[4] Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Inc., New York 1976.
[5] Helena i Julian Musielakowie, Analiza matematyczna, t.1, cz: 1,2, Wydawnictwo UAM, Poznań 1993.
[6] Wiesława Kaczor, Maria Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz: 2,3 Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
[7] Włodzimierz Stankiewicz, Zadania z matematyki, cz. IB, PWN, Warszawa 1986.
[8] Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN Warszawa 1974.