n 1

SZEREGI LICZBOWE
P∞
1. Znaleźć wzór na sumę sn i zbadać zbieżność szeregu n=1 an .
a)
∞
P
n=1
b)
∞
P
n=1
c)
∞
P
300
2n ;
2n
300 ;
(−1)n ;
n=1
d)
∞
P
n=1
e)
∞
P
n=1
1
n(n+1)
2n+1
n2 (n+ 1)2 .
2. Znaleźć wyraz ogólny, napisać szereg i obliczyć jego sumę, wiedząc, że jego n-ta suma
częściowa sn = n+1
n .
3. Zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
P
n=1
b)
∞
P
n=1
c)
∞
P
n=1
d)
∞
P
n=1
sin2 n
n2 ;
√
1
;
n(n+1)
3n+1
n2 −3 ;
3n+1
n3 +3 .
4. Zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
P
n=1
b)
∞
P
n=1
c)
n!
nn ;
1
(2n)! .
∞ √
P
√
( n + 1 − n);
n=1
d)
∞
P
n=1
e)
∞
P
n=1
f)
∞
P
n=1
g)
∞
P
n=1
2n n!
nn ;
nn
n! ;
n3n
(3n)! ;
1
(n!)2 −n! .
5. Zbadać zbieżność szeregów:
n
∞ P
3n+2
a)
;
2n+3
n=1
b)
∞
P
n=1
1
(ln n)n .
1
6. Wykazać rozbieżność szeregu harmonicznego obliczając całkę
R∞ 1
1
x dx.
7. Wykazać zbieżność szeregów:
a)
∞
P
n=1
b)
∞
P
n=1
c)
∞
P
n=1
d)
∞
P
n=1
e)
∞
P
n=1
1
(n)α
dla α > 1.
(−1)n−1 lnnn . (warunkowo zbieżny)
(−1)n−1
√
√ .
n+1+ n
(warunkowo zbieżny)
(−1)n−1
√
√ .
n+1− n
(rozbieżny — warunek konieczny nie jest spełniony)
(−1)n−1
.
n2
(bezwzględnie zbieżny)
8. Zbadać zbieżność szeregów (bezwzględną i warunkową):
a)
∞
P
nxn−1 ;
n=1
b)
∞
P
n=1
c)
∞
P
n=1
d)
∞
P
n=1
(−1)n
2n+1
3n+2
n
;
(−1)n ln n
;
n
(−1)n−1 tg
1
√
n n
2