Odpowiedzi do zadań Są tu odpowiedzi i wskazówki do części

Odpowiedzi do zadań
Są tu odpowiedzi i wskazówki do części zadań. Za jakiś czas dopiszę odpowiedzi do kolejnych zadań.
Zadania były rozwiązywane na szybko, więc nie mogę zagwarantować poprawności. W razie zauważenia
błędu proszę o maila. Rozwiązania pochodzą z poprzednich semestrów, więc proszę się nie dziwić
informacjom „było na zajęciach”.
Kolokwium 05.IV.2004r.
1. Zbieżność punktowa dla każdego α > 0 na R, funkcja graniczna f ≡ 0. Zbieżność jednostajna jedynie
dla α < 1, w pozostałych przypadkach „psuje się” w xn = ± √12n .
2. Badając odpowiednie pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0, 0) stwierdzamy, że można znaleźć
w otoczeniu tego punktu funkcję y = ϕ(x). Na mocy Twierdzenia o funkcji uwikłanej funkcja ta jest
różniczkowalna. Znajdujemy pochodną
ϕ0 (x) =
cos y sin x
− sin y cos x + 2y + 1
stwierdzamy, że ϕ0 (0) = 0 więc możemy mieć ekstremum funkcji ϕ w x = 0. Różniczkując powyższą
równość względem x i pamiętając, że y zależy od x otrzymujemy drugą pochodną funkcji ϕ. W
punkcie x = 0 ma ona wartość 1. Tak więc funkcja ϕ ma w punkcie x = 0 minimum lokalne.
3. Robiliśmy na zajęciach (albo bardzo podobne)
4. Funkcja jest różniczkowalna wszędzie poza punktem (0, 0) jako iloraz funkcji różniczkowalnych, mianownik się nie zeruje. W punkcie (0, 0) funkcja nie jest różniczkowalna. Możemy to sprawdzić
obliczając pochodne kierunkowe - poza pochodnymi
cząstkowymi nie istnieją one. Można również
zauważyć analizując na przykład ciąg n1 , n1 , że funkcja ta jest nieciągła w zerze, nie może więc być
różniczkowalna.
Zadania przygotowawcze część I
1. a) Funkcja graniczna f ≡ 0 dla x > 0. Brak zbieżności jednostajnej (np xn = n1 .
b) f (x) = x dla x ∈ R. Zbieżność jest jednostajna.
c) f ≡ 0 na [−1, 1]. Brak zbieżności jednostajnej.
d) Funkcja graniczna:
f (x) =
1
x
dla x 6= 0;
0 dla x = 0
obszar zbieżności R. Brak zbieżności jednostajnej.
e) Zbiór na którym zachodzi zbieżność punktowa x = kπ, k ∈ Z, funkcja graniczna f ≡ 0. Zbieżność
jest jednostajna.
f) f ≡ 0, dla x > 0. Zbieżność jest jednostajna.
g) Zbieżność punktowa do f ≡ 0, zbieżność nie jest jednostajna.
2. a) Ciągłość wszędzie poza x2 = y 2 , widać np. biorąc ciąg a + n1 , a +
1
n+1
;
b) Ciągłość tylko poza okręgiem jednostkowym (czyli poza miejscami sklejenia dwóch funkcji), można
wziąć praktycznie dowolny ciąg, żeby to pokazać -> np. dla punktu (x0 , y0 ) na okręgu weźmy
(x0 + n1 , y0 ). Wartość funkcji na elementach ciągu zbiega do ±∞. Mówiąc w skrócie: zbliżając
się do okręgu mianownik zbiega do 0, a licznik jest wciąż równy 1; zatem nie może być granicy
(właściwej).
c) Ciągłość tylko poza „sklejeniem”; w (0, 0) można wziąć ciąg
trzeba odpowiednio przesunąć;
1 1
, , 1
n n n2 +1
, w pozostałych punktach
d) Bardzo podobne do (b), ciągłość znów tylko poza „sklejeniem”;
e) Było na zajęciach (trzeba podzielić licznik i mianownik przez x2 );
f) Ciągłość wszędzie poza (0, 0) – oczywista, a w tym punkcie trzeba (znowu) podzielić licznik i
mianownik przez x2 plus argumentacja jak na zajęciach;
g) Ciągłość poza sklejeniem oraz w punkcie (0, 0) — wszędzie indziej nieciągłość jest oczywista, bo
mianownik jest bliski zera a licznik nie. W punkcie (0, 0) dzielimy licznik i mianownik przez y 2
pamiętając, że granica sin(y)/y przy y → 0 to jedynka, a potem argumentujemy jak powyżej;
h) Ciągłość tylko poza osiami OX i OY. W punkcie (0, 0) można wziąć np. n1 , n15 ; a poza tym
punktem na osiach nieciągłość „widać”, bo mianownik jest bliski zeru a licznik nie.
Zadania przygotowawcze - drugie kolokwium
2. a) Punkt podejrzany (−5, −1), brak ekstremum;
b) W zerze problemy z pochodną, ale poza zerem punktów podejrzanych brak, a w (0, 0) widać że
będzie maksimum;
c) Dość żmudne – podejrzane wychodzą osie oraz jeden punkt, punkt jest ekstremum, a żeby zbadać
na osiach najlepiej jest narysować zbiory f > 0 (na czerwono) i f < 0 (na niebiesko). Ponieważ
na osiach funkcja się zeruje, to łatwo zobaczyć, że minima są w punktach, które mają wyłącznie
czerwone otoczenie, maksima mają otoczenie niebieskie, a tam gdzie w otoczeniu są obydwa kolory
– nie ma ekstremum;
d) Bardzo żmudne i trudne – problemy z pochodną w (0, 0), a konkretnie ten punkt jest poza dziedziną – funkcja w tym punkcie „ucieka” do −∞. Trzebaby zbadać ciągłość na osi OX, bo x jest
w mianowniku.arctg ma dobrze określoną granicę w +∞, −∞, więc w danym punkcie dobrze
określona jest granica z góry i z dołu; choć są różne więc ciągłości brak. Punkt podejrzany, to
(1, 1), gdzie też trzeba się namęczyć. . .
4. Bardzo polecam, choć nie bardzo jest o czym mówić. Jakobiany wyliczyć b. prosto, a obrazami
zbiorów są (oczywiście) odpowiednio walec i kula.
7. Było na zajęciach. Nie jest miarą.
wziąć An = {n}, czyli zbioru jednoelementowe i od
∞ Wystarczy
∞
P
S
razu widać, że
µ(An ) 6= µ
An ;
n=1
n=1
8. Jest miarą. Korzystamy z tego, że suma przeliczalnego i nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalna oraz z
tego, że przeliczalna suma przeliczalnych jest przeliczalna.
9. Trzeba obliczyć całkę
R1 R2
−1 −2
6 − x2 − y 2 dy dx = 34 23 .
10. Typowe z pierwszego roku:
Ra a−x
R
0
cos y sin x dy dx, całkę wewnętrzną liczy się prosto, a zewnętrzną
0
trzeba najpierw raz przez części, a potem korzystając ze wzoru na kosinus różnicy.
20. Miarą jest dla c > 0, probablistyczną dla c = 1/2.