Statystyka Astronomiczna – zadania 2/9 PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Statystyka Astronomiczna – zadania 2/9
PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE, CAŁKOWITE I BAYESA
1. Zawodnik stoi przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z nich (za którą - wie to tylko prowadzący program) jest nagroda (umieszczana całkowicie losowo). Gracz wybiera jedną z bramek.
Prowadzący program odsłania inną bramkę (co istotne – anonsując, że jest to bramka pusta), po
czym proponuje graczowi zmianę wyboru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zawodnik wylosuje
nagrodę, jeśli zmieni swój wybór? (Paradoks Monty Halla)
2. Wykazać, że jeżeli P (A) = 0,9 i P (B) = 0,8, to P (A|B) > 0,875.
3. Z urny, w której znajduje się 7 kul białych i 3 czarne, losujemy kolejno 3 kule bez zwracania.
Określić prawdopodobieństwo wszystkich możliwych ciągów wyników („drzewko”). Obliczyć
prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) wylosowano co najmniej 1 kulę białą,
b) wszystkie wylosowane kule były białe, jeżeli wiadomo, że kula z pierwszego losowania była
biała.
4. W kasynie są dwa (identyczne z zewnątrz) automaty do gry. W jednym z nich (automacie A)
można wygrać z prawdopodobieństwem 12 , w drugim (B) z prawdopodobieństwem 14 . Obliczyć:
a) prawdopodobieństwo wygrania, jeżeli automat wybraliśmy losowo,
b) prawdopodobieństwo, że wybraliśmy automat A, jeżeli przegraliśmy.
5. Obserwujemy gwiazdy zmienne typu RR Lyrae w jednej z gromad w Wielkim Obłoku Magellana.
Chcemy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że dana gwiazda typu RR Lyrae nie
należy do gromady, ale jest gwiazdą pola, przypadkowo znajdującą się na linii widzenia. Wiemy,
że przypadkowo wybrana gwiazda będzie gwiazdą pola z prawdopodobieństwem 0,1, a gwiazdą
gromady z prawdopodobieństwem 0,9. Wśród gwiazd pola (w ustalonym przedziale jasności)
gwiazdy typu RR Lyrae stanowią 2%, a wśród gwiazd gromady 20%.
6. Na 100 mężczyzn pięciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy, w której jest
3 razy więcej mężczyzn niż kobiet wylosowano jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wylosowana osoba
a) jest daltonistą,
b) jest kobietą, jeśli jest daltonistą,
c) jest mężczyzną, jeśli nie jest daltonistą?
7. Do pudełka włożono trzy normalne monety i jedną fałszywą, w której awers i rewers są reszkami.
Losowo wyciągamy jedną monetę i rzucamy ją. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnęliśmy
fałszywą, jeśli wypadła reszka?
8. Przy badaniu na obecność narkotyków osoby, która faktycznie zażywa narkotyki, test wypada
pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy badaniu osoby nie zażywającej narkotyków wypada
negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiła przebadać swoich pracowników takim
testem wiedząc, że 0,5% z nich to narkomani. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba u której
test wypadł pozytywnie rzeczywiście zażywa narkotyki.
9. Na linii łączności nadaje się dwa rodzaje sygnałów w postaci kodowych kombinacji 111 albo 000 z
prawdopodobieństwami (a priori ) odpowiednio równymi 0,65 i 0,35. Sygnały podlegają losowym
zakłóceniom, w rezultacie czego symbol 1 może być odebrany jako 0 z prawdopodobieństwem
0,2 i z takim samym prawdopodobieństwem symbol 0 może być odebrany jako 1. Zakładamy,
że symbole 1 i 0 ulegają zakłóceniom niezależnie jeden od drugiego.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału: a1 ) 111, a2 ) 000, a3 ) 010,
1
Statystyka Astronomiczna – zadania 2/9
b) Na wyjściu odebrano sygnał 010, jakie jest prawdopodobieństwo, że został on nadany jako
sygnał 000?
c) Na wyjściu odebrano sygnał 111, jakie jest prawdopodobieństwo, że został on nadany również jako 111?
SCHEMAT BERNOULLIEGO
10. Obliczyć i przedstawić graficznie rozkład prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń
otrzymania orła przy dziesięciu rzutach monetą. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję
tego rozkładu.
11. Rzucono 10 razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w
pierwszym rzucie otrzymano szóstkę, jeżeli otrzymano 3 szóstki.
12. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem (gra bez remisów,
prawdopodobieństwo wygranej i przegranej jest jednakowe) 3 partie z 4, czy 5 partii z 8?
13. W n próbach Bernoulliego wartość oczekiwana liczby sukcesów jest 5 razy większa od wartości
oczekiwanej liczby porażek. Obliczyć prawdopodobieństwo sukcesu p.
14. W 21 próbach Bernoulliego prawdopodobieństwo 2 sukcesów jest 217 razy większe niż prawdopodobieństwo 19 sukcesów. Obliczyć prawdopodobieństwo sukcesu p.
15. Zadanie Samuela Pepysa. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniej jednej szóstki
w 6 rzutach, co najmniej dwóch szóstek w 12 rzutach czy co najmniej 3 szóstek w 18 rzutach?
16. Obliczyć prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy dwóch układów elektronicznych złożonych z
trzech elementów połączonych szeregowo albo równolegle. Prawdopodobieństwo bezawaryjnej
pracy każdego z elementów jest takie samo i wynosi p = 0,8. Jak zmienią się prawdopodobieństwa bezawaryjnej pracy tych dwóch układów elektronicznych, jeśli w każdym układzie zostanie
użytych po 6 takich elementów?
ZMIENNE LOSOWE I ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA
17. W urnie znajduje się 5 kul. Z urny losujemy kolejno kule bez zwracania, aż do otrzymania
pierwszej kuli białej. Po wylosowaniu kuli białej kończymy losować. Oblicz wartość oczekiwaną
liczby losowań oraz jej wariancję, gdy kule w urnie to:
a) 4 kule czarne i 1 kula biała,
b) 3 kule czarne i 2 kule białe.
18. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest jako rozkład wykładniczy
λ e−λx x > 0
f (x) =
0
x<0
Obliczyć:
a) dystrybuantę zmiennej losowej X,
b) PX (( 14 , 21 ]) dla λ = 1,
c) wartość oczekiwaną,
d) wariancję,
e) medianę,
f) modę.
2
Statystyka Astronomiczna – zadania 2/9
19. Dystrybuanta zmiennej losowej ma postać
F (x) = c + b arctan
x
a
Wyznaczyć:
a) parametry b i c
b) gęstość prawdopodobieństwa,
c) PX ((α, β]).
20. Rozkład jednostajny dany jest funkcją
1
b−a
f (x) =
0
x ∈ [a,b]
x∈
/ [a,b]
Wyznaczyć:
a) dystrybuantę,
b) wartość oczekiwaną,
c) wariancję,
d) medianę,
e) modę.
21. Jednowymiarowa zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości
√
c x − x x ∈ [0,1]
f (x) =
0
x∈
/ [0,1]
Wyznaczyć:
a) stałą c,
b) wartość oczekiwaną,
c) wariancję.
22. Jednowymiarowa zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości
−5
cx
x≥1
f (x) =
0
x<1
Wyznaczyć:
a) stałą c,
b) dystrybuantę,
c) wartość oczekiwaną,
d) wariancję.
23. Wyrazić czwarty moment centralny jako sumę momentów zwyczajnych.
3