Lista zadań nr.3

Lista zadań nr.3
Zadanie 1
Samochód porusza się po trasie, na której znajdują się 4 sygnały świetlne, działające
niezależnie od siebie. Każdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza samochód z
prawdopodobieństwem p=1/2. Niech X oznacza liczbę sygnałów miniętych przez
samochód do momentu pierwszego zatrzymania. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X,
narysować jej dystrybuantę i obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie 2 (2.2.2 ze skryptu)
Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa podany w tabeli:
xi
pi
-3
0.1
-2
0.2
-1
0.2
0
0.3
1
p
2
0.1
Podać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y = X 2 + 2, narysować jej dystrybuantę i
obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancję .
Zadanie 3 (2.2.6 ze skryptu)
Niech P(X = 2 n ) = α 5 –n dla n = 1, 2, ….. Obliczyć α, EX i Var X.
Zadanie 4
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o rozkładzie Poissona :
P( X = k ) =
λk
k!
exp(−λ ), k=0,1,2, ….
Zadanie 5
Obliczyć i narysować dystrybuantę oraz obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
zmiennych losowych o rozkładach:
a) wykładniczym z parametrem λ
b) jednostajnym na odcinku [a,b]
Zadanie 6 (2.2.1 ze skryptu)
Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać:
x
F(x)
(-∞,-1]
0
(-1,3]
0.15
(3,7]
0.25
(7,10]
0.4
(10,15]
0.85
(15, ∞)
1
Obliczyć EX i Var X.
Zadanie 7 (2.3.4 ze skryptu)
Zmienna losowa X ma gęstość f(x) = A cos(x) dla x z odcinka (−π /2, π/2) i f(x) = 0
poza tym odcinkiem.
Obliczyć
a) parametr A,
b) P(π/6 < X < π/4).
c) Obliczyć i narysować dystrybuantę X.
Zadanie 8 (2.1.7 ze skryptu).
Zmienne losowe X i Y są niezależne i EX=2, Var X=1, EY=1, Var Y=4. Znaleźć
wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z=3X-5Y.
Zadanie 9
Ziarna groszku ogrodowego są żółte lub zielone. W pewnej krzyżówce odmian groszku
stosunek liczby roślin z żółtymi ziarnami do liczby roślin z zielonymi ziarnami jest jak
3:1. Losujemy cztery rośliny z tej populacji. Jakie jest p-stwo, że
(a) trzy rośiny będą miały żółte ziarna a jedna zielone ?
(b) wszystkie cztery rośliny będą miały ziarna tego samego koloru ?
Zadanie 10
Pewne lekarstwo leczy 90% przypadków pewnej choroby. Poddajemy kuracji 20 losowo
wybranych chorych. Znajdź p-stwo tego, że
(a) wszyscy chorzy w naszej próbie zostaną wyleczeni,
(b) wyleczymy wszystkich oprócz jednego,
(c) wyleczymy dokładnie 18 chorych,
(d) wyleczymy dokładnie 90% chorych w naszej próbie.