ZESTAW 4. 1. Krupier rzuca symetryczną monetą do chwili, gdy

ZESTAW 4.
1. Krupier rzuca symetryczną monetą do chwili, gdy wypadnie orzeł, nie
więcej jednak niż sześć razy. Gdy orzeł wypadnie w k-tym rzucie, krupier wypłaca 2k zł, ale gdy orzeł nie wypadnie, po sześciu rzutach gracz
płaci S zł i gra się kończy. Ile powinna wynosić opłata S, aby gra była
sprawiedliwa?
2. Zmienna losowa ma rozkład N (1, 2). Obliczyć: a) P (X < 0), b) P (X <
1). Znaleźć a takie, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez X wartości
z przedziału < 1 − a; 1 + a > jest równe 0.68.
3. Pociągi elektryczne przyjeżdżają na stację dokładnie co 10 minut. Pasażer przychodzi na stację w przypadkowej chwili. Niech X oznacza
czas oczekiwania na przyjazd pociągu. Określić rozkład zmiennej losowej
X, znaleźć jej gęstość, dystrybuantę, obliczyć wartość oczekiwaną oraz
P (X < 8).
4. Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem p = 13 . Zmienną losową
jest liczba trafień przy czterech strzałach. Wyznaczyć jej rozkład oraz
dystrybuantę, wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe.
5. Student potrafi odpowiedzieć na 80% pytań egzaminacyjnych. Egzaminator zadaje pytania do pierwszej błędnej odpowiedzi, nie więcej jednak niż
cztery. Za cztery poprawne odpowiedzi student otrzymuje 5, za trzy 4, za
dwie 3, a w pozostałych przypadkach 2. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że student zda egzamin? Jakiej oceny może się spodziewać?
6. Rzucamy kostką i monetą. Jeśli wypadnie orzeł i parzysta liczba oczek
wygrywamy
10 zł, jeśli reszka i nieparzysta liczba oczek 5 zł. W pozostałych przypadkach przegrywamy 4 zł. Wygrana jest zmienną losową. Napisać jej
rozkład i obliczyć wartość oczekiwaną. Naszkicować wykres dystrybuanty. Czy warto grać w tę grę?
7. Waga lizaków (w gramach) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
N (30, 2). Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia lizaka cięższego niż 35
gramów?
1
8. Model gospodarki opiera się na funkcji produkcji Cobba-Douglasa
y = β0 x1 β1 ...xk βk eW
,
gdzie W jest błędem losowym o rozkładzie N (0, σ). Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość produkcji Y .
9. Pewna firma ubezpieczeniowa oferuje, że wypłaci 40 000 zł w razie śmierci
pięćdziesięcioletniego mężczyzny w ciągu roku trwania ubezpieczenia w
zamian za 500 zł jednorazowej wpłaty. Obliczyć przeciętny zysk firmy, jeśli prawdopodobieństwo śmierci pięćdziesięcioletniego mężczyzny w ciągu
roku, odczytane z polskich tablic trwania życia, równa się 0,01081.
10. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(0,2.5). Obliczyć P (6X 2 ≥ 9X+
X 3 ).
11. Towarzystwo ubezpieczeń wzajemnych ma rezerwę 1000 zł z poprzedniego roku. W bieżącym roku 100 klientów wpłaca po 100 zł ubezpieczenia. W przypadku śmierci ubezpieczonego firma wypłaca 4000 zł.
Prawdopodobieństwo śmierci każdego z klientów jest jednakowe i równe
p = 0, 01. Załóżmy że przypadki zgonów sa niezależne. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że firma nie będzie wypłacalna w bieżącym roku?
12. Dystrybuanta rocznych dochodów płatników podatku dana jest wzorem

 1 − ( x0 )α dla x ≥ x0 ,
x
F (x) =

0
dla x < x0
Wyznaczyć wysokość rocznego dochodu, którą dochód losowo wybranego
podatnika przekracza z prawdopodobieństwem 0.5. (α > 0).
13. Dystrybuanta losowego czasu bezawaryjnej pracy aparatury radiowej
ma postać
F (t) = 1 − e−t/T (t ≥ 0). Znaleźć a) prawdopodobieństwo bezawaryjnej
pracy aparatury w ciągu czasu T , b) gęstość prawdopodobieństwa f (t).
14. Prawdopodobieństwo znalezienia zatopionego statku po czasie t poszukiwań dane jest wzorem p(t) = 1 − e−γt (t > 0). Obliczyć średni czas
poszukiwania niezbędny dla znalezienia statku.
15. Załóżmy, że element podlega wykładniczemu prawu awarii, tzn. moment
awarii X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Pokazać, że prawdo2
podobieństwo pojawienia się awarii w czasie [t, t + δ], pod warunkiem, ze
nie nastąpiła ona do chwili t, nie zależy od t.
16. Zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną µ i wariancję σ 2 . Obliczyć
dla jakich wartości a i b zmienna losowa a + bX ma wartość oczekiwaną
0 i wariancję 1.
17. Automat ustawiony na pozycji µ produkuje wałki, których średnica ma
rozkład normalny N (µ, 0.05). Wałek uważa się za dobry, jesli jego średnica X mieści się w przedziale (20.15, 20.25). Jak powinien być ustawiony
automat, aby prawdopodobieństwo wykonania braku było najmniejsze?
Jaki procentowo udział w całej produkcji będą miały braki naprawialne
(X > 20.25), a jaki nie naprawialne (X < 20.15), jeżeli automat ustawiono pomyłkowo na µ = 20.25?
18. Producent wykonuje buty w rozmiarach od 40 do 44. Na rynku sprzedaje je w jednej ustalonej cenie 80 zł. Koszty wytworzenia dla tych pięciu
rozmiarów są następujące: 53 zł, 54 zł, 56 zł, 58 zł i 59 zł. Popyt na poszczególne rozmiary producent ocenia odpowiednio na: 12%, 35%, 28%,
14%, 11% w stosunku do całego popytu na jego buty. Oblicz oczekiwaną
wartość zysku, jaki ma ten producent na jednej parze.
19. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (2, 8; 12 ). Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmuje wartości z przedziału h−1, 3i.
3