Zdarzenie i jego prawdopodobieństwo 1

Zdarzenie i jego prawdopodobieństwo
Zad.1 Test
1
(w załączniku).
Zad.2. Wykaż następujące własności prawdopodobieństwa (opierając się
jedynie na definicji):
a) P (Ω) = 1 i 0 ≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A z rodziny Z,
b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
c) jeśli A ∩ B = ∅, to P (A ∪ B) = P (A) + P (B),
d) jeżeli B = A0 , to P (B) = 1 − P (A),
e) jeżeli A ⊂ B, to P (A) ≤ P (B),
f) jeżeli A ⊂ B, to P (B − A) = P (B) − P (A).
Zad.3. Określ prawdopodobieństwo P na rodzinie wszystkich zdarzeń
związanych z losowaniem dwu kul z urny U3∗2 .
Zad.4. Zaproponowano Ci udział w grze. Ty i twój przeciwnik będziecie
na przemian rzucać kostką do gry dopóty, dopóki nie zostanie wyrzucona
ścianka z sześcioma oczkami. Zwycięża ten, kto pierwszy wyrzuci szóstkę.
Czy prawo pierwszeństwa jest w tej grze przywilejem?
Zad.5. Zostałeś zaproszony do gry. Z dwu ruletek, r1 i r2 , możesz wybrać
sobie jedną. Drugą bierze twój przeciwnik. Każdy z was losuje liczbę za
pomocą swojej ruletki. Zwycięża ten, kto wylosuje większą liczbę. Czy
prawo pierwszeństwa jest w tej sytuacji dla Ciebie przywilejem? Którą ruletkę
wybierzesz?
'
$
3
5
'
2
5 3
&%
1
5
$
1
&%
3
1
5
5
8
4
8
r1
r2
Jak podzielić na sektory z liczbami 1 i 4 tarczę drugiej ruletki, aby gra była
sprawiedliwa?
Zad.8. Mamy do wyboru 2 kłódki: jedną z nich otwieramy wybierając
cztery spośród 10 przycisków oznaczonych cyframi od 1 do 9, drugą otwieramy
wybierając 6 spośród 10 przycisków z cyframi od 1 do 9 (w obu przypadkach nie
1
dotyczy błędnych ”własności” prawdopodobieństwa
1
ma znaczenia kolejność wciskania przycisków). Która kłódka jest ”bezpieczniejsza”
(tzn. dla której kłódki prawdopodobieństwo, że przypadkowa osoba nie znająca
szyfru otworzy ją na chybił-trafił, jest mniejsze).
Zad.9. Od jakiego k począwszy praktycznie na pewno w grupie k osób są:
(a) co najmniej dwie osoby urodzone w tym samym dniu tygodnia;
(b) co najmniej dwie osoby urodzone pod tym samym znakiem zodiaku;
(c) co najmniej dwie osoby urodzone w tym samym dniu roku;
Od jakiego k począwszy prawdopodobieństwo, że w grupie k osób są co najmniej
dwie urodzone w tym samym dniu roku, jest większe od 12 .
Zad.10. Paradoks zdarzeń praktycznie pewnych. Załóżmy, że dla
zdarzeń A i B jest: P (A) = 0, 99 i P (B) = 0, 9999. Przyjmijmy, że są to
prawdopodobieństwa zajścia tych zdarzeń w dowolnym dniu roku (w każdym
dniu roku te prawdopodobieństwa są takie same). Obliczyć, z jakim prawdopodobieństwem
każde z tych zdarzeń zajdzie w ciągu roku każdego dnia. 2
Zad.11. Gracz wypełnił dwa kupony totolotka. Na każdym skreślił inne
sześć liczb. Może nadać te kupony tak, aby wzięły udział w jednym losowaniu
lub w dwu różnych (np. kolejnych) losowaniach. Jaką decyzję gracz powinien
podjąć, aby mieć większe szanse na główną wygraną?
Zad.12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
A={wśród sześciu liczb wylosowanych spośród 49 w totolotku będą dwie
kolejne liczby}.
zad.13. Obliczyć, czy jednakowe jest prawdopodobieństwo wygrania w
loterii zawierającej n losów, spośród których jeden wygrywa, i w loterii zawierającej
2n losów, spośród których dwa wygrywają, jeśli:
(a) gracz kupuje jeden los;
(b) gracz kupuje dwa losy;
zad.14. Talia składa się z 52 kart (po 13 kart w każdym z czterech
kolorów). Po wyciągnięciu jednej karty i zwróceniu jej do talii tasujemy
karty i znów wyciągamy jedną kartę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie
wyciągnięte karty są tego samego koloru.
zad.15. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w grupie sześciu przypadkowo
zebranych osób znajdą się osoby urodzone w dwu kalendarzowych miesiącach.
zad.16. Rozważmy losowe rozmieszczenie trzech ponumerowanych cząstek
w trzech ponumerowanych komórkach (zakładamy, że pierwsza komórka może
pomieścić do trzech cząstek, natomiast druga i trzecia co najwyżej po jednej).
Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
(a) co najmniej jedna komórka będzie pusta;
(b) nie będzie pustej komórki;
2
(0, 99)365 < 0, 03 oraz (0, 9999)365 ≈ 0,97
2