Wykład 3

Obligacje zerokuponowe – Ŝadne odsetki nie przysługują ich posiadaczowi przed okresem
wykupu. Po upływie tego terminu posiadacz obligacji otrzymuje kwotę równą wartości
nominalnej obligacji. Oprocentowanie tych obligacji wynika ze sposobu ich sprzedaŜy z
dyskontem, czyli po cenie niŜszej od wartości nominalnej. Niewątpliwą zaletą tych
papierów jest fakt, Ŝe oprocentowanie nabywca dostaje niejako z góry.
W przypadku zerokuponowej wzór na wycenę przyjmuje postać:
P=
FV
(1 + r )n
FV- wartość nominalna obligacji
n – liczba lat do terminu wykupu
Przykład:
Inwestor rozpatruje zakup obligacji zarokuponowej z terminem wykupu 2 lata, o wartości
nominalnej 100. JeŜeli wymagana stopa dochodu inwestora wynosi 5%, jaka jest
maksymalna cena zakupu obligacji?
P=
FV
100
=
= 90,70
n
(1 + r ) (1 + 0,05)2
OBLICZANIE RENTOWNOŚCI OBLIGACJI
Gdy rynek obligacji jest efektywny, tzn. informacje są szybko i prawidłowo przetwarzane
przez inwestorów, wówczas prawidłowo wycenia obligacje. Wtedy zamiast określać
wartość obligacji przy danej wymaganej stopie dochodu inwestora, częściej stosuje się
postępowanie odwrotne, polegające na określeniu stopy dochodu obligacji (rentowności)
przy znajomości wartości rynkowej (ceny) obligacji. Stopa ta nazywa się stopą dochodu
w okresie do wykupu (ang. Yield to maturity).
Stopa dochodu w okresie do wykupu jest rozwiązaniem równania:
Ct
t
i =1 (1 + YTM )
n
P=∑
YTM – (yield to maturity) rentowność obligacji
Rentowność obligacji jest to stopa dochodu, jaką uzyska inwestor, który kupi obligacje po
cenie P, przetrzyma ją do terminu wykupu, a odsetki będzie reinwestował przy tej stopie
dochodu.
Przykład:
Inwestor rozwaŜa zakup obligacji o stałym oprocentowaniu z trzyletnim terminem
wykupu o wartości nominalnej 100. Oprocentowanie wynosi 10%, a odsetki płacone są co
roku. JeŜeli aktualna cena obligacji wynosi 105,5PLN, jaka jest stopa dochodu w okresie
do wykupu obligacji (YTM)?
105,5 =
10
10
10
+
+
2
1 + YTM (1 + YTM )
(1 + YTM )3
Stosując arkusz kalkulacyjny, otrzymujemy rozwiązanie:
YTM=8%
-1-
RYZYKA ZWIĄZANE Z INWESTOWANIEM W OBLIGACJE RZĄDOWE
Powszechnie przyjmuje się, Ŝe Obligacje Skarbu Państwa pozbawione są ryzyka, gdyŜ
moŜna przyjąć, Ŝe ryzyko niewypłacalności całego państwa jest bliskie zera. Stąd stopa
rentowności tych obligacji określana jest jako stopa wolna od ryzyka
(risk free - premium). W związku z tym, ryzyko niewypłacalności nie ma zastosowania w
stosunku do Obligacji Skarbu Państwa.
Nie oznacza to, Ŝe z posiadaniem Obligacji Skarbu Państwa nie wiąŜe się Ŝadne ryzyko.
Inwestując w omawiane papiery wartościowe jesteśmy naraŜeni na dwa główne rodzaje
ryzyka w okresie pozostającym do wykupu obligacji.
Ryzyko zmiany stopy procentowej ryzyko to jest tym większe im dłuŜszy jest okres
pozostający do wykupu obligacji. Stąd w gospodarce, w której istnieje oczekiwanie
spadku stóp procentowych, obligacje długoterminowe zwykle oferują większą premię za
ryzyko spadku stóp procentowych Ŝeby zrekompensować posiadaczowi tych obligacji
fakt, Ŝe w stosunku do posiadaczy obligacji krótkoterminowych dłuŜej wystawieni są na
to ryzyko.
Ryzyko reinwestycji otrzymywane oprocentowanie oraz kapitał zwrócony przez remitenta
w momencie wykupu obligacji są zazwyczaj reinwestowane. Spadek poziomu rynkowych
stóp procentowych powoduje spadek oczekiwanej stopy zwrotu z nowych inwestycji.
Ćwiczenie
Inwestor rozwaŜa zakup obligacji o stałym oprocentowaniu z trzyletnim terminem
wykupu o wartości nominalnej 100. Oprocentowanie wynosi 10%, a odsetki płacone są co
roku. Wymagana stopa inwestora wynosi 10%
a. Przy jakiej cenie inwestycja w obligacje jest opłacalna?
b. Jak zmieni się cena obligacji, jeśli rynkowe stopy procentowe spadną z 10% do
8%?
Rozwiązanie:
a.
b.
10
10
10
+
+
= 100
2
1 + 0,1 (1 + 0,1)
(1 + 0,1)3
10
10
10
P=
+
+
= 105,15
2
1 + 0,08 (1 + 0,08)
(1 + 0,08)3
P=
ZMIANA STÓP PROCENTOWYCH A CENA OBLIGACJI
Spadek stóp procentowych powoduje wzrost ceny obligacji. Dzieje się tak dlatego, Ŝe
wzrasta popyt na obligacje oferujące wyŜsze oprocentowanie od aktualnych rynkowych
stóp procentowych, co prowadzi do wzrostu ceny tych obligacji. Cena obligacji rośnie do
momentu, w którym stopa dochodu do wykupu obligacji zrównuje się z aktualnymi
stopami rynkowymi. W rezultacie zarabiają dotychczasowi posiadacze obligacji. Nowi
nabywcy tych obligacji (juŜ po spadku stóp) nie będą w stanie uzyskać rentowności
przewyŜszającej aktualne (niŜsze) stopy procentowe. W prawdzie zarabiają oni na
wyŜszych kuponach odsetkowych, ale stracą na róŜnicy między wartością nominalną
obligacji a wyŜszą od niej ceną nabycia. Per saldo rentowność ich inwestycji będzie równa
aktualnym (tj. z dnia zakupu obligacji) stopom procentowym.
Ruchy poziomu cen obligacji i wysokości stóp procentowych następuje w przeciwnych
kierunkach.
-2-
KREDYT KONSUMENCKI
C.k.k. – to łączna kwota wszystkich kosztów, opłat i prowizji, do których zapłaty
zobowiązany jest konsument oraz rzeczywista roczna stopa oprocentowania:
-
opłata przygotowawcza pobierana za przygotowanie i zawarcie umowy kredytowej
prowizja banku
inne opłaty na rzecz banku (np.: za wystawienie promesy)
prowizje dla pośredników kredytowych
inne opłaty poza bankowe, np.: koszty ubezpieczenia spłaty kredytu na wypadek
śmierci, inwalidztwa, choroby lub bezrobocia konsumenta
suma odsetek za cały okres kredytowania, wyliczona na potrzeby pierwotnego planu
spłaty.
RZECZYWISTA ROCZNA STOPA OPROCENTOWANIA
K =m
AK
∑ (1 + i )
K =1
tK
=
K '= m '
A' K '
∑ (1 + i ) t
K ' =1
K'
Wypłaty kredytu = spłaty kredytu
K – numer kolejnej wypłaty raty kredytu
K´ – numer kolejnej spłaty raty kredytu lub kosztów
AK – kwota wypłaty raty kredytu „K”
A´K´ – kwota spłaty kredytu lub kosztów „K’ ”
Σ – suma
m – numer ostatniej wypłaty raty kredytu
m´ – numer ostatniej spłaty rety kredytu lub kosztów
tK – okres wyraŜony w latach lub ułamkach lat pomiędzy pierwszą wypłatą i kolejnymi
wypłatami, począwszy od 2 do wypłaty „m”
tK´ – okres wyraŜony w latach lub ułamkach lat, pomiędzy pierwszą spłatą kredytu lub
kosztów i kolejnymi spłatami, począwszy od 2 do spłaty „m”
i – rzeczywista roczna stopa oprocentowania
Przykład 1
Weźmy kredyt gotówkowy w wysokości 3000zł zaciągnięty na 24 miesiące, którego
oprocentowanie w skali roku to 15,2%. Pobrana przez bank opłata przygotowawcza
wynosi 40zł, a prowizja 3%. Kredyt ten wypłacono jednorazowo w całkowitej kwocie
1.10.2002r.
Mamy zatem:
AK=3000 (jest to kwota wypłaconego nam kredytu)
tK =0(mówimy tu o dniu wypłaty kredytu, jest on wypłacany jednorazowo)
A´K´=AoKo=130 (jest to suma opłaty przygotowawczej 40zł i 3% prowizji od kwoty
zaciągniętego kredytu, tj. 90zł pobieranych w dniu wypłaty kredytu)
A´K´=A1K1=163,73=125+38,73 (jest to wartość raty kapitałowej i odsetek po miesiącu od
dnia zaciągnięcia kredytu)
-3-
A´K´=A2K2=160,95=125+35,92 (jest to wartość raty kapitałowej i odsetek po dwóch
miesiącach od dnia zaciągnięcia kredytu)
A´K´=A3K3 do A23K23 (wartość kolejnych rat kapitałowych i odsetek)
A´K´=A24K24=126,56=125+1,56 (jest to wartość ostatniej 24 raty kapitałowej i odsetek)
tK=tKo=0 (prowizja pobierana jest w dniu wypłaty kredytu zatem nie moŜemy mówić o
Ŝadnym odstępie czasu)
tK´=tK1=0,0849 (okres wyraŜony w latach lub ułamkach lat między wypłatą i kolejnymi
wpłatami, czyli w naszym przykładzie mamy: kredyt został zaciągnięty 01.10
termin wypłaty pierwszej upływa 01.11 czyli po 31 dniach od daty zaciągnięcie kredytu.
A zatem 31/365, czyli 0,0849)
tK´=tK2=0,1671 (po dwóch miesiącach od dnia zaciągnięcia kredytu 61/365)
tK´=od tK3 do tK23 (kolejne okresy między wypłatą a kolejnymi wpłatami)
tK´=tK24=2,0027 (po 23 miesiącach po 731 dniach od dnia zaciągnięcia kredytu 731/365)
Prawa strona naszego wyliczenia wygląda następująco:
K =m
∑
K =1
AK
AK
AK
=
=
= 3000
tK
o
1
(1 + i ) (1 + i )
Prawa strona naszego wyliczenia wygląda następująco:
A' K '
Ao K o
A1K1
A2 K 2
A24 K 24
=
+
+
+ (...) +
∑
tK '
t o
t 1
t 2
K =1 (1 + i )
(1 + i ) K (1 + i ) K (1 + i ) K
(1 + i )tK 24
K =m
K =m
∑
K =1
A' K '
130
163,73
160,92
126,56
(
)
=
+
+
+
...
+
(1 + i )tK ' (1 + i )o (1 + i )0,0849 (1 + i )0,1671
(1 + i )2,0027
czyli
3000 =
130
163,73
160,92
126,56
(
)
+
+
+
...
+
1
(1 + i )0,0849 (1 + i )0,1671
(1 + i )2,0027
czyli:
i=21,950
Przykład 2
Dla porównania weźmy taki sam kredyt (tj. na kwotę 3000zł) na dwa lata, którego
oprocentowanie w skali roku to 15,2% wypłacony jednorazowo 03.10.2002r. tylko Ŝe tym
razem klient zdecydował się na wzięcie kredytu u pośrednika. Wiadomo Ŝe prowizja tu
-4-
musi być wyŜsza, gdyŜ ani bank, ani pośrednik z prowizji nie zrezygnują. Weźmy w
naszym przykładzie 7% jedna z niŜszych na rynku i zobaczmy o ile kredyt zdroŜeje.
K =m
K
K
K
tK
o
K =1
∑
A
A
A
=
=
= 3000
1
(1 + i ) (1 + i )
A' K '
Ao K o
A1 K 1
A 24 K 24
=
+
+ (...) +
∑
tK '
o
1
K '=1 (1 + i )
(1 + i ) (1 + i )
(1 + i )tK 24
K '= m '
A' K '
130 + 210
162,73
160,92
126,56
(
)
=
+
+
+
...
+
∑
tK '
K '=1 (1 + i )
(1 + i )o (1 + i )0,0849 (1 + i )0,1671
(1 + i )2,0027
K '= m '
czyli:
i=32,460
Przykład 3
Weźmy kredyt gotówkowy zaciągnięty na rok w wysokości 5000zł, udzielany przez dwa
róŜne banki. W jednym oprocentowanie wynosi 14,7%, pobrana przez bank opłata
przygotowawcza 40zł i prowizja 3%, w drugim oprocentowanie to 22% a prowizji bank
nie potrąca. Rzeczywista roczna stopa oprocentowania dla tych kredytów wyniesie
odpowiednio 24,77% i 24,63%.
KOSZTY
Roczną stopę oprocentowania wylicza się indywidualnie dla kaŜdego kredytu, a zatem nie
moŜna porównywać kredytów róŜnych (zawsze kwota kredytu, czas na jaki jest zaciągany
i sposób spłaty musza być takie same.
Wartość rocznej stopy oprocentowania jest róŜna w zaleŜności od tego, w jaki sposób
kredyt jest spłacany (w ratach malejących, czyli równych kapitałowo z malejącą kwotą
naleŜnych odsetek, czy annuitetowych, tj. równych kwotowo – kwota kapitału do spłaty
rośnie, natomiast odsetki są coraz mniejsze).
Im kredyt jest dłuŜszy tym jego rzeczywista roczna stopa oprocentowania niŜsza, gdyŜ
koszty dodatkowe 0 poza odsetkowe (prowizje, opłaty przygotowawcze), są stałe.
Przy kredycie w wysokości 5000zł, którego oprocentowanie roczne wynosi 14,7%, opłata
przygotowawcza 40zł przygotowawcza 40zł, a prowizja 3% i rzeczywista stopa
oprocentowania kredytu zaciągniętego na rok wynosi 24,77%, natomiast przy kredycie
24 – miesięcznych –21,22%.
Oferta u pośrednika kredytowego zawsze jest droŜsza od oferty banku, gdyŜ musimy
zapłacić - o czym, biorąc taki kredyt, często zapominamy – podwójną prowizję: dla
banku i pośrednika.
Podawanie rzeczywistej rocznej stopy oprocentowania jest szczególnie waŜne, gdy
kosztem kredytu są głównie koszty poza odsetkowe. Porównując oferty, często opieramy
się na samym oprocentowaniu, nie zastanawiając się, jakie opłaty dodatkowe towarzyszą
kredytowi.
-5-