a Kartezjusz lisc t at yt at xc lancuchowa linia ttay tax b asteroida t ay

LISTA 1. Pochodna funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.
Zad.1: Stosując wzory na pochodne funkcji elementarnych oraz korzystając z reguł
różniczkowania obliczyć pochodne następujących funkcji:
x3
3
2
2
a) y = x + 1 ⋅sin2x, b) y =
, c) y = x4⋅e−3x, d) y = x⋅e1/x, e) y = x + 5x − x ,
2
cos x
2
f) y = ln x ,
x2 + 3
2
g) y = 1 − x ,
h) y = ln(x + x 2 + 1), i) y = cos(x2 - 2x + 5), j) y = arctg x 2 + 1 ,
1 + x2
k) y = x 3ln(2x + x 2 ), l) y = arcsin 1 ,
x
m) y = x − x ,
n) y = x cosx ,
o) y =
shx
.
1 + thx
Zad.2: Wyznaczyć f’(0), jeśli f(x)=x(x+1)(x+2)·…·(x+1234567).
Zad.3:Wykazać, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x=0 oraz f(0)=0, to
f ' (0) = lim
x→0
f ( x)
x
Zad.4: Zbadać różniczkowalność następujących funkcji w punkcie x0=0:
1

 x sin
a) f ( x) = x x ;
b) f ( x ) = ln x ;
c) f ( x) = 
x
 0
x≠0
.
x=0
Zad.5: Dla jakich wartości a i b funkcja f(x) jest ciągła i różniczkowalna w punkcie x0:
 x2
f (x) = 
 ax + b
dla
dla
x ≤ x0
.
x > x0
Zad.6: Napisać równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji f w punkcie P(x0;f(x0)):
a) f ( x) =
1+ x
x0 = 4;
1− x
b) f ( x ) =
2x
x0 = 1.
x +1
2
Zad.7: Obliczyć kąt przecięcia się krzywych:
a) y = 2x2 – x + 1 i y = x2 + 4x – 3;
Zad.8: Obliczyć pochodną
x = a cos t
a. 
asteroida
3
y
=
a
sin
t

3
b) y=sinx i y=cosx.
dy
wybranej funkcji określonej równaniami parametrycznymi:
dx
 x = a lnt
linia

b.  y = a  t + 1


 2  t  lancuchowa
at

x
=
3

lisc
c.  1+ t2
 y = at 3 Kartezjusza
 1+ t
Zad.9: Napisać równanie stycznej do krzywej zadanej równaniami parametrycznymi:
x=
1+ t
3
1
; y= 2 +
w punkcie P(2,2).
3
t
2t
2t
Zad.10: Dla funkcji f(x)=x3-2x+1 obliczyć ∆f(1) i df(1) jeśli: a)∆x = 1; b)∆x = 0,1; c)∆x = 0,01.
)
(
Zad.11: Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżenia liczb:
a)
3
x , x = 7,76;
b)
1
x + 5 − x 2 , x = 0,98;
2
c)
1
2x2 + x + 1
, x = 1,016.
Zad.12: Wyznaczyć wzór na n-tą pochodną f(n)(x) dla funkcji:
a) f ( x) = x ;
b) f ( x) = xex ;
Zad.13: Obliczyć drugą pochodną
c) f ( x) = ln(1 + x);
d ) f ( x) =
1+ x
.
1− x
d2y
funkcji określonej równaniami parametrycznymi:
dx2

 x = e t cos t
a) 
t ∈ R;
t
y
=
e
sin
t


1

x
=
cos t

t
b) 
t ∈ R+.
1
 y = sin t
t
