a Kartezjusz lisc t at yt at xc lancuchowa linia ttay tax b asteroida t ay

LISTA 1. Pochodna funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.
Zad.1: Stosując wzory na pochodne funkcji elementarnych oraz korzystając z reguł
różniczkowania obliczyć pochodne następujących funkcji:
a) y = x3⋅e−2x,
b) y =
-3
4
c) y = x + 3x − 8x + 2 ,
1/x
x ⋅e ,
2
2
d) y = 1 − x − x arcsin 1 − x ,
128 − 8x − x
1+ 2x
(2 x 3 + 3) x 2 − 3
x
2x x
y
=
y
=
ln
y
=
x
−
ln(
2
+
e
+
2
e
+
e
+
1
)
g)
,
e) y =
,
f)
,
h)
,
3
9x 2
1− 2x
8 − x3
3
1
i) y =
,
2
j) y = 1 − x ,
1 + x2
(x + 2) x 2 + 4 x
n) y =
4
k) y = ln(x + x 2 + 1), l) y = cos(x3 - 2x), m) y = arctg x 2 + 1 ,
1
ex − 3
arctg
, o) y = arccos 1 ,
x
2
2
p) y = x −2 x ,
r) y = (lnx) cosx ,
s) y =
shx
.
1 + thx
Zad.2: Dla jakich wartości a i b funkcja f(x) jest ciągła i różniczkowalna w punkcie x0:
 x2
a) f ( x ) = 
 ax + b
dla
dla
x ≤ x0
,
x > x0
dla x < 1
 bx + 3
f
(
x
)
=
, x0 = 1
 2
b)
2
x
+
x
+
a
dla
x
≥
1

Zad.3: Napisać równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji f w punkcie P(x0;f(x0)):
a) f ( x) =
1+ x
x0 = 4;
1− x
b) f ( x ) =
2x
x0 = 1.
x +1
2
Zad.4: Obliczyć kąt przecięcia się krzywych:
a) y = 2x2 – x + 1 i y = x2 + 4x – 3;
b) y=sinx i y=cosx.
dy
wybranej funkcji określonej równaniami parametrycznymi:
dx
Zad.5: Obliczyć pochodną
x = a cos t
a. 
asteroida
3
y
=
a
sin
t

3
 x = a lnt
linia

b.  y = a  t + 1


 2  t  lancuchowa
at

x
=
3

lisc
c.  1+ t2
 y = at 3 Kartezjusza
 1+ t
Zad.6: Napisać równanie stycznej do krzywej zadanej równaniami parametrycznymi:
x=
1+ t
3
1
; y= 2 +
w punkcie P(2,2).
3
t
2t
2t
Zad.7: Dla funkcji f(x)=x3-2x+1 obliczyć ∆f(1) i df(1) jeśli: a)∆x = 1; b)∆x = 0,1; c)∆x = 0,01.
Zad.8: Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżenia liczb:
a)
3
x , x = 8,36;
b) arcsin x, x = 0,08;
c)
1
2x + x + 1
2
, x = 0,984.
Zad.9: Wyznaczyć wzór na n-tą pochodną f(n)(x) dla funkcji:
a) f ( x) = x ;
b) f ( x) = xex ;
c) f ( x) = ln(1+ x);
d ) f ( x) =
1+ x
.
1− x
d2y
Zad.10: Obliczyć drugą pochodną 2 funkcji określonej równaniami parametrycznymi:
dx

t
 x = e cos t
a) 
t ∈ R;
t
y
=
e
sin
t


1

 x = t cos t
b) 
t ∈ R+.
1
 y = sin t
t
