TOPOLOGIA, I r. MAT. Lista zadań nr 1 2014/15 1. Metrykę lp, p 1

TOPOLOGIA, I r. MAT.
Lista zadań nr 1
2014/15
1. Metrykę lp , p ­ 1, definiujemy na płaszczyźnie w sposób następujący:
1
dlp ((u, v), (x, y)) = (|x − u|p + |y − v|p ) p .
(dla p = 2 jest to zwykła metryka euklidesowa). Dla p = ∞ metrykę tę definiujemy jako
dl∞ ((u, v), (x, y)) = max(|x − u|, |y − v|)).
Przeprowadzić dowód, że dlp istotnie jest metryką dla przypadków p = 1, 2, ∞.
Pokazać, że metryki l1 , l2 , l∞ są topologicznie równoważne (tzn., że topologie, czyli rodziny
zbiorów otwartych, dla tych metryk są takie same).
2. Jakim zbiorem jest kula B((0, 0), 1) o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1 w: a) metryce
rzeka; b) metryce warszawskiej; c) metryce l1 ; d) metryce l∞ ; e) metryce l2 .
3. Jak wygląda kula B((0, 2), 3) o środku w punkcie (0, 2) i promieniu 3 w: a) metryce
rzeka; b) metryce warszawskiej?
Wsk: zauważyć, jaka jest odległość punktu (0, 2) od rzeki (czyli także od punktu (0, 0)), a
następnie skorzystać z zad. 2 a), b).
4. Pokazać, że zbiór {(x, y) : y > 0} (górna półpłaszczyzna otwarta) jest otwarty w l1 .
5. Pokazać, że metryka warszawska nie jest topologicznie równoważna z metryką l2 (na R2 ).
6. Który z podanych zbiorów jest domknięty, otwarty lub ani taki, ani taki na R2 w metryce
euklidesowej: {1}×[1, 2], {1}×[1, 2), {(x, y) : x > 0, y > 0}, {(x, y) : x > 0, y > 0}\{(2, 2)},
{(x, y) : x > 0, y ­ 0}, {(x, y) : x ­ 0, y ­ 0}, {(x, y) : |x − y| > 1}?
Zaznaczyć te zbiory na rysunku.
7. Pokazać, że (xn , yn ) → (x, y) w l1 wtedy i tylko wtedy, gdy xn → x oraz yn → y na R.
Zauważyć, że z zadania 1 wynika, że to samo jest prawdą dla l2 i l∞ .
8. Pokazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwa jest równość: Int(A) = (Ac )c .
9. Pokazać, że Fr(A) = A \ Int(A).
10. Czy rodzina funkcji spełniających warunek Lipschitza ze stałą a > 0 jest zbiorem
domkniętym w C[0, 1] (z metryką ρ(f, g) = sup{|g(x) − f (x)| : x ∈ [0.1]}).
11. Rozważyć kulę B((2, 2), 1) w metryce euklidesowej na R2 . Jaki jest jej brzeg w metryce
rzeka?