(0, 0) i promieniu 1 w
Transkrypt
(0, 0) i promieniu 1 w
TOPOLOGIA, MAT Lista zadań nr 1 2012/13 1. Jakim zbiorem jest kula B((0, 0), 1) o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1 w: a) metryce rzeka; b) metryce warszawskiej; c) metryce l1 ; d) metryce l∞ . 2. Jak wygla̧da kula B((0, 2), 3) o środku w punkcie (0, 2) i promieniu 3 w: a) metryce rzeka; b) metryce warszawskiej? Wsk: zauważyć, jaka jest odleglość punktu (0, 2) od rzeki (czyli także od punktu (0, 0)), a nastȩpnie skorzystać z zad. 1 a), b). 3. Pokazać, że metryki l1 , l2 , l∞ sa̧ topologicznie równoważne (l2 - metryka euklidesowa). 4. Pokazać, że zbiór {(x, y) : y > 0} (górna pólplaszczyzna otwarta) jest otwarty w l1 . 5. Pokazać, że metryka warszawska nie jest topologicznie równoważna z metryka̧ l2 (na R2 ). 6. Który z podanych zbiorów jest domkniȩty, otwarty lub ani taki ani taki na R2 w metryce euklidesowej: {1} × [1, 2], {1} × [1, 2), {(x, y) : x > 0, y > 0}, {(x, y) : x > 0, y > 0} \ {(2, 2}, {(x, y) : x > 0, y ≥ 0}, {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}, {(x, y) : |x − y| > 1}. Zaznaczyć te zbiory na rysunku, 7. Pokazać, że jeśli (xn , yn ) → (x, y) w l1 wtedy i tylko wtedy, gdy xn → x oraz yn → y na R. Zauważyć, że z zadania 3 wynika, że to samo jest prawda̧ dla l2 i l∞ . 8. Pokazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ρ) prawdziwa jest równość: Int(A) = (Ac )c . 9. Pokazać, że F r(A) = A \ Int(A). 10. Czy rodzina funkcji spelniaja̧cych warunek Lipschitza ze stala̧ a > 0 jest zbiorem domkniȩtym w C[0, 1] (z metryka̧ ρ(f, g) = sup{|g(x) − f (x)| : x ∈ [0.1]}). 11. Rozważyć kulȩ B((2, 2), 1) w metryce euklidesowej na R2 . Jaki jest jej brzeg w metryce rzeka? 1