Przykład 2 – sprowadzenie macierzy do macierzy dolnotrójkątnej

Wyznaczniki
GaussMatrix@2011
Przykład 2 – sprowadzenie macierzy do macierzy dolnotrójkątnej
Rozważmy teraz taki przykład:
Sprowadzimy tę macierz do macierzy dolnotrójkątnej. Oznacza to,
że prędzej czy później będziemy musieli „wyprodukować” kolumnę,
która oprócz najbardziej dolnego elementu ma same zera. Idealną
kandydatką na taką kolumnę jest kolumna numer dwa – wszystkie
jej elementy są wielokrotnościami dolnego elementu (czyli czwórki).
W dwóch następnych operacjach pozbędziemy się liczb 8 i -8.
Do wiersza drugiego dodamy dwa wiersze czwarte...
… zaś od wiersza trzeciego odejmiemy dwa wiersze czwarte.
Po tej operacji druga kolumna nadaje się już do bycia kolumną
czwartą – zamieniamy je więc miejscami.
Nie wolno oczywiście zapomnieć o zmianie znaku wyznacznika po
zamianie kolumn!
Spójrzmy teraz na drugi wiersz – jeżeli pozbędziemy się liczb 6 oraz
3 (chodzi o trójkę po prawej stronie), to otrzymamy idealny
pierwszy wiersz macierzy dolnotrójkątnej. Czyli taki wiersz, który
ma pierwszy element niezerowy, podczas gdy pozostałe są zerami.
Do drugiej kolumny dodamy dwie pierwsze kolumny – w ten
sposób pozbędziemy się liczby -6. Natomiast od trzeciej kolumny
odejmiemy pierwszą, żeby pozbyć się drugiej trójki z drugiego
wiersza.
Teraz drugi wiersz wygląda idealnie jakby „chciał” być pierwszym
wierszem.
Zamienimy więc dwa pierwsze wiersze ze sobą miejscami, nadal
pamiętając o zmianie znaku wyznacznika – liczba -1 zniknie sprzed
wyznacznika.
Bardzo łatwo będzie usunąć liczbę 8 przy pomocy stojącej obok -4
– otrzymamy wówczas wiersz, który będzie wyglądał jak wiersz
drugi (dwa pierwsze elementy będą dowolnymi liczbami, zaś dwa
kolejne zerami). Zatem dodajemy dwie kolumny drugie do kolumny
trzeciej.
Wyznaczniki
GaussMatrix@2011
Po tej operacji musimy już tylko zamienić wiersz drugi z trzecim
(oczywiście zmieniając przy okazji znak wyznacznika) i już
otrzymujemy wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej.
Wynikiem jest iloczyn liczby stojącej przed macierzą oraz liczb
stojących na przekątnej, czyli:
W = -1×3×(-4)×33×4=1584
Ten sam przykład w programie GaussMatrix
Krok 1. W programie GaussMatrix wybierz aplikację Wyliczanie
wyznacznika, w aplikacji tej wybierz opcję podania własnego przykładu i na
następnym ekranie wybierz rozmiar macierzy 4x4. Następnie wprowadź dane
swojej macierzy i naciśnij przycisk Dalej.
9 0 -4 5
-3 -8 -5 -2
-1 8 9 6
3 4 4 -2
Krok 2. Na ekranie pojawiło się następujące okno. Przyciski po prawej stronie (dotyczące kolumn) powodują
analogiczne działanie, jak przyciski dla wierszy opisane w „chmurkach”.
Dodawanie wiersza
pomnożonego przez
stałą niezerową
Dodawanie wiersza
podzielonego przez
stałą niezerową
Mnożenie wiersza przez
stałą niezerową
Dzielenie wiersza przez
stałą niezerową
Zamiana dwóch wierszy
Wyciągnięcie stałej
niezerowej z wiersza
Możesz cofnąć się o kilka kroków
jeżeli się pomylisz lub stwierdzisz,
że należałoby obrać inną strategię.
Po cofnięciu się, możesz zmienić
zdanie i powrócić do swojego
ostatniego kroku.
Możesz w dowolnej chwili
zacząć ten sam przykład
od nowa.
Wyznaczniki
GaussMatrix@2011
Krok 3. Najpierw zajmiemy się liczbą -8 z drugiej
kolumny. Naciśni przycisk, który zmienia dany wiersz w
ten sposób, że dodaje do niego inny wiersz pomnożony
przez liczbę niezerową. W małym okienku podaj takie
parametry, które będą oznaczać, że chcesz zmienić
drugi wiersz dodając od niego dwa wiersze czwarte.
Analogicznie zmień trzeci wiersz odejmując od niego
dwa wiersze czwarte.
Po tych operacjach lewa część aplikacji powinna
wyglądać następująco:
Krok 4. Naciśnij przycisk służący do zamiany kolumn i
zamień kolumnę drugą z czwartą.
Krok 5. Naciśnij przycisk, który zmienia daną kolumnę
w ten sposób, że dodaje do niej inną kolumnę
pomnożoną przez liczbę niezerową. Podobnie jak w
kroku trzecim zmień drugą kolumnę dodając do niej
dwie kolumny pierwsze.
Analogicznie zmień trzecią kolumnę – odejmij od niej
kolumnę pierwszą.
Po tych operacjach ostatnia macierz powinna wyglądać
następująco:
Krok 6. Zamień kolejnością dwa pierwsze wiersze.
Krok 7. Zmień zawartość trzeciej kolumny dodając do
niej dwie kolumny drugie.
Krok 8. Zamień kolejnością drugi i trzeci wiersz.
Krok 9. Wyznacznik jest już obliczony – stworzyliśmy
macierz schodkową, możemy więc obliczyć iloczyn liczby
stojącej przed macierzą oraz liczb znajdujących się na
przekątnej.
Wyznaczniki
GaussMatrix@2011