Przykład 1 – rząd macierzy 4x5 Obliczymy rząd poniższej macierzy

Rząd macierzy
GaussMatrix@2011
Przykład 1 – rząd macierzy 4x5
Obliczymy rząd poniższej macierzy:
Będziemy chcięli zamienić tę macierz na macierz schodkową –
liczba „schodków” będzie wówczas równa rzędowi macierzy.
Od razu zauważamy, że wiersze drugi i czwarty są do siebie
proporcjonalne – wykasujemy wiersz czwarty, ponieważ zawiera
większe liczby (o wiele łatwiej wykonuje się obliczenia z małymi
liczbami, dlatego zostawimy wiersz drugi).
Bardzo wygodnie jest mieć jedynkę w górnym lewym rogu.
Moglibyśmy, co prawda, podzielić pierwszy wiersz przez dwa, ale
przez to powstałoby dużo ułamków (a studenci nie przepadają za
przykładami zawierającymi ułamki).
Zamienimy więc wiersz pierwszy z drugim.
Teraz możemy łatwo się pozbyć liczb stojących w pierwszej
kolumnie pod jedynką.
Od wiersza drugiego odejmiemy dwa wiersze pierwsze, zaś od
trzeciego aż trzy wiersze pierwsze.
Teraz wykasujemy liczbę -6 – od wiersza trzeciego odejmiemy dwa
wiersze drugie.
Mamy już wszystkie trzy schodki – nie da się ich już stworzyć
więcej, ponieważ macierz nie ma więcej wierszy. Nie będzie ich
także mniej – żaden z nich nie są kombinacją liniową pozostałych
(widać to „piramidce” z zer).
A zatem, rząd tej macierzy wynosi 3.
Ten sam przykład w programie GaussMatrix
Krok 1. W programie GaussMatrix wybierz aplikację Wyliczanie rzędu
macierzy, w aplikacji tej wybierz opcję podania własnego przykładu i na
następnym ekranie wybierz rozmiar macierzy: 4 wiersze i 5 kolumn.
Następnie wprowadź dane swojej macierzy i naciśnij przycisk Dalej.
2 1 1 1 -2
1 2 3 -1 2
3 0 1 -3 -2
2 4 6 -2 -4
Rząd macierzy
GaussMatrix@2011
Krok 2. Na ekranie pojawiło się następujące okno. Przyciski po prawej stronie (dotyczące kolumn) powodują
analogiczne działanie, jak przyciski dla wierszy opisane w „chmurkach”.
Dodawanie wiersza
pomnożonego przez
stałą niezerową
Dodawanie wiersza
podzielonego przez
stałą niezerową
Mnożenie wiersza przez
stałą niezerową
Dzielenie wiersza przez
stałą niezerową
Zamiana dwóch wierszy
Wykasowanie jednego z
proporcjonalnych wierszy
Wykasowanie wiersza z samymi zerami
Możesz cofnąć się o kilka kroków
jeżeli się pomylisz lub stwierdzisz,
że należałoby obrać inną strategię.
Po cofnięciu się, możesz zmienić
zdanie i powrócić do swojego
ostatniego kroku.
Możesz w dowolnej chwili
zacząć ten sam przykład
od nowa.
Krok 3. Wiersze drugi i czwarty są proporcjonalne. Naciśnij przycisk powodujący usunięcie jednego z proporcjonalnych wierszy. Na ekranie pojawi się mniejsze okienko – wybierz w nim odpowiednie numery wierszy i naciśnij
OK:
Krok 4. Naciśnij przycisk symbolizujący zamianę wierszy i zamień wiersz pierwszy z drugim.
Rząd macierzy
GaussMatrix@2011
Krok 5. Teraz należy pozbyć się liczb w pierwszej kolumnie, położonych pod górną jedynką. Naciśni guzik, który
zmienia dany wiersz w ten sposób, że dodaje do niego inny wiersz pomnożony przez liczbę niezerową. W małym
okienku podaj takie parametry, które będą oznaczać, że chcesz zmienić drugi wiersz odejmując od niego dwa
wiersze pierwsze:
Analogicznie zmień trzeci wiersz – odejmij od niego trzy wiersze pierwsze.
Po tym kroku ostatnia macierz wygląda następująco:
Krok 6. Ponownie zmień trzeci wiersz: odejmij od niego dwa wiersze drugie.
Krok 7. Rozwiązanie jest już gotowe – rząd macierzy wynosi 3, ponieważ sworzyliśmy macierz schodkową o
trzech schodkach (i więcej tych schodków nie da się zrobić):