Matematyka komputerowa Lista 3

Matematyka komputerowa
Lista 3
Zadanie 1 Narysowa¢ wykresy nastepuj¡cych funkcji:
• sin(x)/x w przedziaªach [−20, 20], [−80, 80],opisa¢ wykres,
• sin(x), sin(x + 1), sin(x + 2), sin(x + 3) w przedziale [−2π, 2π] (na jednym
ukªadzie wspóªrzednych),kolory odpowiednio czarny, niebieski, czerwony,
zielony,
• f(x)=3x5 − 7x2 +x, g(x)=2x2 +x-1, f(g(x)), g(f(x)) w przedziaªach
−5 ¬ x ¬ 5, − 50 ¬ y ¬ 50 na jednym ukªadzie i ka»d¡ podpisa¢,
• sin(x)k +...+sin(x)2 +sin(x), w przedziale [−2π, 2π], dla k = 1, 2, 3, 4, 5, 6,
• [x], x − [x], x + (x − [x]3 ), w przedziale [−10, 10] (na jednym ukªadzie
wspóªrzednych), podpisa¢ ka»dy z nich,(kolory-czerwony, niebieski, zielony),
• f (x, a) = exp(asin(x)), dla a = π/2, tytuª napisa¢ w Times Roman czcionka 14,w tytule poda¢ rozwini¦cie π/2 do 4-ego miejsca po przecinku,
• sin(5cos(x)sin(y)) dla −π ¬ x ¬ π , −π ¬ y ¬ π .
Zadanie 2 Wykonaj polecenia:
• narysuj wykresy wszystkich sto»kowych,
• narysuj lemniskat¦ Bernoulliego,oraz pewn¡ krzyw¡ Lissajous
• wykona¢ wykres równania parametrycznego r = a sin(3t), 0 ¬ t ¬ 2π a-parametr,
• wykonaj animacj¦ cos(tx)sin(ty) dla −π ¬ x ¬ π , −π ¬ y ¬ π i t = 1, 2,
• Narysowa¢ elipsoid¦ (x + 1)2 /5 + (y − 1)2 /4 + z 2 /8 = 1 oraz powierzchni¦
walca r(φ, z) = 2 (wykresy w ramce).
Zadanie 3 Oblicz pochodne podanych wyra»e« i funkcji-wynikiem funkcji powinna
by¢ funkcja, a wyra»enia wyra»enie:
√
• x2 − 4
√
• f := x → arc sin x3
q
1−arc sin y
•
1+arc sin y
• g := x →
√4
3
arc tg( √13 (2 tg
x
2
+ 1)) − x
Zadanie 4 Oblicz pochodne cz¡stkowe
•
∂4f
∂x2 ∂y∂z
dla f (x, y, z) = √
1
x2 +y 2 +z 2
1
•
∂2f
∂2f ∂2f
∂x∂y , ∂x2 , ∂y 2
dla f (x, y) = x2 arc tg xy − y 2 arc tg xy
•
∂2
∂2
∂2
∂x∂y , ∂x2 , ∂y 2
wyra»enia sin(x)cos(y).
Zadanie 5 Pokaza¢, »e z = xα f ( xy ) jest rozwi¡zaniem cz¡stkowego równania
ró»niczkowego
x
∂z
∂z
+y
= αz.
∂x
∂y
Zadanie 6 Rozwi¡» nast¦puj¡ce równania ró»niczkowe z warunkami pocz¡tkowymi:
0
y (x) = 4y(x) + 5, y(0) = 2 narysuj pole wektorowe
0
0
y (2) + 5y + 16y = cos(5x), y(0) = 1, y (0) = 0 przedstaw wynik gracznie.
Zadanie 7 Rozwi« w szeregi Taylora nast¦puj¡ce funkcje w zadanych otoczeniach oraz wskaza¢ wspóªczynnik przy 5-ym czªonie rozwini¦cia. Czy pierwsza z
nich daje si¦ rozwin¡¢ w szereg pot¦gowy?
• f (x) = e−x sin(x) w otoczeniu 0 do 5-tego miejsca
• f (x, y) = 2ex y − x2 sin(y) w otoczeniu (0,0) do 7-ego miejsca
Zadanie 8 Oblicz podane caªki
•
R
cosx
2+sinx+2cox dx,
R1
x2 arc tg xdx,
R1R2
• 0 0 (sin(xy) + 3x)dydx,
•
•
0
R
1
2π
0
R4 R3
−2 2
√
x
dydxdz,
y 2 +z 2
• wykonaj podstawienie u = x5 + 1 i oblicz caªk¦
R
• wykonaj caªkowanie przez cz¦±ci xex .
R
√
x4 x5 + 1,
Zadanie 9 Wykonaj polecenia
• oblicz pole pomi¦dzy krzywymi f (x) = x+5 , g(x) = x2 oraz pªaszczyznami
x=1 i x=2 (wykonaj odpowiedni rysunek),
√
• oblicz pole pomiedzy krzywymi f (x) = x, , g(x) = x2 ograniczone punktami ich przeci¦cia (wykonaj odpowiedni rysunek),
• oblicz dªugo±¢ ªuku cykloidy x = a(t − sin(t)), y = a(1 − cos(t)), gdzie
a>0, a parametr zmienia si¦ w przedziale 0 ¬ t ¬ 2π (wykonaj odpowiedni
rysunek).
Zadanie 10 Dana jest funkcja f(x)= 5sin(x/2π )+10 w przedziale x ∈[0, 35].
• Narysowa¢ bryª¦ obrotow¡ (wazon) powstaª¡ przez obrót tej funkcji dookoªa
osi OX,
• Obliczy¢ powierzchni¦ i obj¦to±¢ tego wazonu.
2