Zadania przygotowawcze część I

1. Zbadaj zbieżność następujących ciągów funkcyjnych, znajdź obszar zbieżności, funkcję graniczną, sprawdź czy zbieżność jest jednostajna, jeśli nie znajdź możliwie duży
podzbiór, na którym zbieżność jest jednostajna.
a) fn (x) =
1
,
1+nx
b) gn (x) = x +
1
n
dla x > 0;
sin(nx), x ∈ R;
2
c) hn (x) = nxe−nx , dla x ∈ [−1, 1];
d) fn (x) =
nx
,
1+nx2
x ∈ R;
e) gn (x) = n sin(nx), x ∈ R;
f) fn (x) =
√
(
g) fn (x) =
x+n+1−
0
1
√
x + n, x ­ 0
dla x ∈ R \ { n1 }
dla x = n1
2. Zbadaj ciągłość odwzorowań:
(
2
a) f : R → R,
f (x, y) =
b) f : R → R,
f (x, y) =
1
x2 +y 2 −1
c) f : R → R,
f (x, y, z) =
f (x, y, z) =
(
2
e) f : R → R,
f (x, y) =
f) f : R → R,
f (x, y) =
g) f : R → R,
f (x, y) =
h) f : R → R,
f (x, y) =
x2 y
x2 +y 2
1−
π−
dla x2 + y 2 6= z 2
w p.p.
dla x2 + y 2 6= 0
w p.p.
x3
2x2 +y 4
y3
x4 +sin2 y
π
(
2
0
1
(
2
dla xy 6= z
w p.p.
1
x2 +y 2 −z 2
0
(
2
x+y+z
xy−z
0
(
d) f : R3 → R,
dla x2 + y 2 6= 1
w p.p.
0
(
3
dla x2 6= y 2
dla x2 = y 2
0
(
2
x2 +y 2
x2 −y 2
x3 +y 3
xy
dla x2 + y 2 6= 0
w p.p.
dla x4 + sin2 y 6= 0
w p.p.
dla xy 6= 0
w p.p.
0
3. Narysuj podane zbiory:
1
a) A ⊂ R2 = {x : kx − (5, 1)k1 ­ 1 ∧ kx + (3, 1)k1 < 2};
b) B ⊂ R2 = {x : kx − (5, 0)kmax ­ 2 ∧ kx + (3, 1)k1 < 2};
4. Udowodnij, że jeśli ciąg (an )n∈N ⊂ Rk , an = (a1n , a2n , . . . , akn ) jest ciągiem Cauchy’ego
to ciągi współrzędnych (ain )n∈N są również ciągami Cauchy’ego, dla i = 1, . . . , k.
5. Udowodnij, że jeśli ciąg (an )n∈N ⊂ Rk , an = (a1n , a2n , . . . , akn ) jest ciągiem zbieżnym do
g ∈ Rk to ciągi współrzędnych (ain )n∈N są również ciągami zbieżnymi, dla i = 1, . . . , k.
Do czego zbieżne są te ciągi?
6. Udowodnij, że Rk jest przestrzenią zupełną wykorzystując fakt, że R jest zupełna.
7. Wykaż równoważność podanych na wykładzie definicji ciągłości odwzorowań.
8. Podać przykład, że suma nieskończonej ilości zbiorów domkniętych nie musi być domknięta. To samo dla przecięcia nieskończonej ilości zbiorów otwartych.
9. Wykaż, że w przestrzeni Rn zwartość zbioru jest równoważna jego ograniczoności i domnkniętości.
10. Wykaż, że obraz zbioru zwartego przy odwzorowaniu ciągłym jest zwarty.
11. Oblicz pochode cząstkowe funkcji i odwzorowań (w obszarze ich określoności):
√
a) z(x, y) = x y + √yx ;
√
b) u(x, y, z) = sin x2 tg y − esin z cos2 y;
c) f : R3 → R2 ,
f (x1 , x2 , x3 ) = ((x1 x2 )x3 , (sin x1 )lnx2 );
d) f : R4 → R2 ,
f (x, y, z, t) = (x y z, (sin x)(sin y)
1
2
sin z
);