Co pisać w rozwiązaniu zadania?

Co pisać w rozwiązaniu zadania?
Rozwiązanie zadania to przedstawiony w pisemnej (pisemno-graficznej) formie, przebieg
rozumowania prowadzący do odpowiedzi na pytanie postawione w temacie zadania,
względnie wypełnienie polecenia zawartego w temacie zadania.
Nie jest to opis czynności, które się wykonuje.
Fakt wykonywania poszczególnych czynności i bez opisu widać na papierze.
Często w rozwiązaniach zadań maturalnych spotykałem zapisy typu:
− liczę deltę
− rozwiązuję równanie
Takie zapisy są zbędne. Nie zwiększają w najmniejszym stopniu jakości rozwiązania.
Powinny natomiast znaleźć się zapisy (o ile nie jest to oczywiste): dlaczego dane równanie
należy rozwiązać, co za pomocą tego równania obliczymy, itp.
Często spotykanym błędem jest nagła zmiana ciągłości rozumowania – bez żadnego
komentarza.
Przykładowo: analizowana jest zależność pomiędzy dwoma wielkościami a oraz x. Kończy
się to obliczeniem zależności, np. x = 3a , po czy nagle pojawia się zapis: b > 4a 2 + x . W
tym momencie należy ten nowy zapis „opisać”. Trzeba zapisać: jaki to ma związek z
poprzednimi zapisami, dlaczego ta nierówność musi być spełniona, z czego wynika itp.
W dalszej części przedstawię autentyczne rozwiązanie zadania „popełnione” przez dobrego
ucznia klasy maturalnej. Miał on rozwiązać „wzorcowo”, czyli tak jak napisałby na maturze,
zadanie z egzaminu wstępnego na AGH w Krakowie.
Czerwonym kolorem będą zaznaczone moje uwagi odnoszące się do poszczególnych
fragmentów rozwiązania (zadanie zostało rozwiązane dobrze; mówimy tylko o poprawności
opisu rozumowania).
Następnie przedstawię moje rozwiązanie tego samego zadania, zawierające bardziej
precyzyjny opis przebiegu rozumowania.
Wnioski wyciąg sam, drogi czytelniku.
___________________________________________________________________________
Zadanie.
Ze zbioru T liczb całkowitych spełniających równanie 2 x + 3 − x − 1 = 5 + 3x losujemy bez
zwracania liczby p,q,r i tworzymy funkcję f : R → R o wartości f ( x ) = px 2 + qx + r .
a) Podaj liczbę tak otrzymanych funkcji.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – otrzymana funkcja jest parzysta
B - otrzymana funkcja jest różnowartościowa
C - otrzymana funkcja jest stała
___________________________________________________________________________
Rozwiązanie ucznia.
2 x + 3 − x − 1 = 5 + 3x
 x + 3 dla x ≥ −3
 x − 1 dla x ≥ 1
x+3 = 
, x−1 = 
 − x − 3 dla x < −3
 − x + 1 dla x < 1
Dla x < −3
2( − x − 3) − ( − x + 1) = 5 + 3x
− 2 x − 6 + x − 1 = 5 + 3x
− 4x = 12
x = −3 brak wniosku: co jest rozwiązaniem tego fragmentu
Dla x ∈ − 3,1)
2( x + 3) − ( − x + 1) = 5 + 3x
2x + 6 + x − 1 = 5 + 3 x
0 = 0 brak wniosku: co jest rozwiązaniem tego fragmentu
Dla x ≥ 1
2( x + 3) − ( x − 1) = 5 + 3x
2x + 6 − x + 1 = 5 + 3 x
− 2 x = −2
x = 1 brak wniosku: co jest rozwiązaniem tego fragmentu
Wyznaczam zbiór T: T = {− 3,−2,−1,0,1} zbiór T składa się z liczb całkowitych, będących
rozwiązaniami równania. Należało podać rozwiązanie równania, a potem na tej podstawie
zbiór T. Przy takim zapisie podany zbiór nie wynika z poprzednich zapisów (czytający musi
sam przeprowadzić odpowiednie rozumowanie).
5!
a) Ω = V 53 =
= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
(5 − 3)!
Wszystkich funkcji jest 60.
b) zdarzenie A: funkcja musi mieć równanie y = px 2 + r Dlaczego?
12 1
A = 4 ⋅ 3 = 12 , P( A ) =
=
60 5
zdarzenie B: funkcja musi mieć równanie y = qx + r Dlaczego?
12 1
B = 4 ⋅ 3 = 12 , P(B ) =
=
60 5
zdarzenie C: funkcja musi mieć równanie y = r Dlaczego?
C = 0 , P(C) = 0
___________________________________________________________________________
Moje rozwiązanie.
2 x + 3 − x − 1 = 5 + 3x
 x + 3 dla x ≥ −3
 x − 1 dla x ≥ 1
x+3 = 
, x−1 = 
 − x − 3 dla x < −3
 − x + 1 dla x < 1
1) Dla x < −3 równanie przyjmuje postać:
2( − x − 3) − ( − x + 1) = 5 + 3x
− 2 x − 6 + x − 1 = 5 + 3x
− 4x = 12
x = −3
rozwiązanie 1): x ∈ ∅
2) Dla x ∈ − 3,1) równanie przyjmuje postać:
2( x + 3) − ( − x + 1) = 5 + 3x
2x + 6 + x − 1 = 5 + 3 x
0=0
rozwiązanie 2): x ∈ − 3,1)
3) Dla x ≥ 1 równanie przyjmuje postać:
2( x + 3) − ( x − 1) = 5 + 3x
2x + 6 − x + 1 = 5 + 3x
− 2x = −2
x=1
rozwiązanie 3): x = 1
Ostatecznie rozwiązaniem równania jest zbiór x ∈ − 3,1 .
Wobec tego T = {− 3,−2,−1,0,1} .
a) Ze zbioru T losujemy trzywyrazowy, różnowartościowy ciąg liczb (p, q, r ) , czyli
5!
Ω = V 53 =
= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 - jest to ilość wszystkich funkcji
(5 − 3)!
b) A – otrzymana funkcja jest parzysta
Funkcja kwadratowa jest parzysta, jeżeli wierzchołek paraboli leży na osi OY, czyli równanie
funkcji jest następujące: y = px 2 + r , (q = 0) .
Takich funkcji jest V 42 = 4 ⋅ 3 = 12 .
Funkcja liniowa jest parzysta, gdy jest stała: y = r , (p = q = 0) . Ten przypadek nie zachodzi,
bo wtedy wylosowany ciąg nie byłby różnowartościowy.
12 1
Stąd: P( A ) =
= .
60 5
B - otrzymana funkcja jest różnowartościowa
Różnowartościowa może tu być tylko funkcja liniowa: y = qx + r , (p = 0) .
Takich funkcji jest B = V 42 = 4 ⋅ 3 = 12 .
12 1
=
60 5
C - otrzymana funkcja jest stała
Ten przypadek nie zachodzi (był już omawiany): C = 0 , P(C) = 0
___________________________________________________________________________
Nie jest prawdą, że ocenianie prac maturalnych zostało „ujednolicone”.
Wprowadzenie punktacji za poszczególne czynności nie spowoduje dokładnie takiej
samej interpretacji rozwiązania zadań przez wszystkich egzaminatorów.
Jeżeli egzaminator uzna, że w danym fragmencie rozwiązania zadania maturalnego
wyjaśnienia nie są wystarczające do uzyskania końcowego wyniku, to nie przyzna
maksymalnej ilości punktów za dany fragment.
Nie ma żadnej wątpliwości, ze ta sama praca oceniana przez różnych egzaminatorów
uzyska często różną liczbę punktów.
Dlatego tak ważne jest dla maturzysty, aby wiedział, co i jak należy pisać w rozwiązaniu
zadania.
P( B ) =
autor: Tadeusz Socha
http://matura.webd.pl