Zadania do samodzielnego rozwia zania – zestaw 3

Zadania do samodzielnego rozwia,zania – zestaw 3
1. Sprowadzić do postaci kanonicznej trójmian ax2 + bx + c, gdzie a, b, c, x ∈ R oraz a 6= 0.
2. Wyprowadzić wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
3. Wyprowadzić wzory Viete’a dla równania kwadratowego.
4. Sporza,dzić wykresy naste,puja,cych funkcji kwadratowych: a) y = −x2 + 1, b) y = 2x2 − 4,
c) y = −2x2 − x + 3, d) y = −(x + 1)2 + 2, e) y = −2(x − 1)2 , f) y = x2 + x − 2.
5. W jakich przeksztalceniach obrazami wykresu funkcji y = x2 , gdzie x ∈ R sa, wykresy
funkcji: a) y = 2x2 , b) y = −x2 , c) y = (x − 1)2 + 2.
6. Naszkicować wykresy funkcji określonych w zbiorze liczb rzeczywistych wzorami: f (x) =
|x2 − x − 2|, g(x) = x2 − 2|x| − 3.
7. Dane jest równanie kwadratowe x2 + 4x − 12 = 0. Nie rozwia,zuja,c go utworzyć równanie
kwadratowe, którego pierwiastki sa, dwa razy wie,ksze od pierwiastków danego równania.
8. Rozwia,zać niepelne równanie kwadratowe: a) ax2 = 0, b) ax2 + c = 0, c) ax2 + bx = 0.
√
√
9. Rozwia,ż równania: x2 − (2 + 3)x + 3 = 0 i 6x2 − 5x + 1 = 0.
10. Rozwia,ż nierówności kwadratowe:
a) x2 − 3x + 4 > 0, b) x2 + x + 2 ≤ 0, c) 3x2 − 10x + 3 < 0, d) x2 − x + 1 ≥ 0.
11. Rozwia,ż uklady nierówności:
½ 2
9x − 12x + 4 ≤ 0
(i)
3x − 1 ≥ 0
½
(ii)
x2 − 4 < 0
3x2 + x + 3 > 0
12. Podać interpretacje, geometryczna, zbiorów A ∩ B i A \ B, gdzie
©
ª
©
ª
A = x ∈ R : |x − 1| > 3
oraz
B = x ∈ R : x2 − 7x + 10 ≤ 0
13. Wyznaczyć zbiór (A ∪ B) \ C, gdy dane sa, naste,puja,ce zbiory liczb rzeczywistych
½
¾
©
ª
3x − 1
2
A = x ∈ R : x − 3x > 5 , B = x ∈ R :
< 0 , C = {x ∈ R : |x| = x}
5x + 1
14. Przedstawić ilustracje, graficzna, zbiorów A \ B oraz A ∩ B, gdy
©
ª
©
ª
A = (x; y) ∈ R2 : y + 1 ≥ x2
oraz B = (x; y) ∈ R2 : y ∈ (−∞; 1) .
15. Suma dlugości boku trójka,ta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 10 cm. Wyznacz
wymiary boku i wysokości tak, by pole trójka,ta bylo najwie,ksze.
16. Wyznacz a, b, c we wzorze funkcji f (x) = ax2 + bx + c wiedza,c, że do jej wykresu należa,
punkty A(0, 8), B(2, 0) i C(5, 3).
17. Dla jakich wartości parametru a równanie x2 + 3x − (a − 3)a = 0 ma dwa pierwiastki
jednakowych znaków?
18. Dla jakich wartości parametru a równanie x2 −(a−1)x−2a(3a+1) = 0 ma dwa pierwiastki
różnych znaków?
19. Dla jakich wartości parametru m istnieja, takie dwa rozwia,zania rówania 3x2 + mx + 1 = 0,
że spelniaja, warunki x1 (α) = sin α, x2 (α) = cos α?
20. Rozwia,ż graficznie i rachunkowo uklady równań:
(
(
x+y =2
2x2 − y + 3x = 5
(i)
(ii)
2x − y + 5 = 0
x2 − y = 0
(
(
x2 + y 2 = 9
25y 2 − 36x2 = 0
(iv)
(v)
x − 3y = 3
5y + 6x + 2 = 0
(
(iii)
xy = 4
2x − y − 3 = 0
(
(vi)
x2 + y 2 = 10
xy = 3
21. Trójmian kwadratowy y = 2x2 + bx + c ma miejsca zerowe x1 = −3 i x2 = 1. Wyznaczyć b
i c.
22. Dla jakiej wartości parametrów a i b funkcja f (x) = ax+b jest: a) parzysta, b) nieparzysta.
23. Rozwia,zaniem nierówności x2 + bx + c < 0 jest przedzial (−2; 4). Wyznaczyć b i c.
24. Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Oy w punkcie A(0, 3). Prosta y = 4x jest styczna
do wykresu funkcji w punkcie B(1, 4).
a) Naszkicować wykres funkcji f .
b) Dla jakich wartości argumentu x wartości funkcji f sa, mniejsze od 4?
c) Obliczyć sume, odwrotności kwadratów pierwiastków równania f (x) = 1.
24. Suma kwadratów miejsc zerowych funkcji f (x) = x2 − px + q jest równa 15. Dla x = −5
funkcja przyjmuje wartość 5. Obliczyć najmniejsza, wartość funkcji f .
25. a) Naszkicować wykres funkcji f (x) = x2 − |4x − 4| i na podstawie wykresu omowić jej
wlasności.
b) Określić liczbe, rozwia,zań równania f (x) = m w zależności od wartości parametru m.
Naszkicować wykres funkcji, która parametrowi m przyporza,dkowuje liczbe, rozwia,zań
tego równia.
26. a) Znaleźć te wartości parametru m, dla których punkt przecie,cia prostych o równaniach
2x − 2y = m − 6 oraz x + y = 11 − m należy do wykresu funkcji f (x) = x2 − 4x + 3.
b) Dla jakich wartości parametru m wspólrze,dne punktu przecie,cia tych prostych spelniaja,
¯ ¯
¯ ¯
warunek ¯ xy ¯ ≥ 1?
27. Funkcja f (x) = 2x2 + bx − 16 ma dwa różne miejsca zerowe takie, że jedno z nich jest
kwadratem drugiego. Znaleźć wspólczynnik b.
28. Funkcja f (x) = −3x2 + 24x + 2c ma dwa miejsca różne zerowe takie, że jedno z nich stanowi
1
3 drugiego. Znaleźć wspólczynnik c.
29. Pole prostoka,ta jest równe a, zaś jego obwód jest równy 24. Obliczyć dlugości boków
prostoka,ta. Jakie wartości może przyjmować a?
30. Na odcinku drogi o dlugości 30 metrów przednie kolo pojazdu zrobilo o 6 obrotów wie,cej
niż tylne. Gdyby obwód każdego kola byl wie,kszy o jeden metr, to na tej drodze przednie
kolo zrobiloby o 3 obroty wie,cej niż tylne. Znaleźć obwody kól.
31. Podstawa prostoka,ta ma dlugość 44 metry, a wysokość 24 metry. O ile trzeba przedlużyć
podstawe,, a wysokość skrócić, aby jego pole pozostalo bez zmiany, a obwód powie,kszyl sie,
o 28 metrów?
32. W ksia,żce jest 20 000 wierszy, przy czym na każdej stronie znajduje sie, jednakowa ilość
wierszy. Gdyby ksia,żke, te, wydrukowano w takim formacie, że na każdej stronie byloby o
10 wierszy wie,cej (przy takim samym rozmiarze wiersza), to liczba stron zmiejszylaby sie, o
100. Ile wierszy jest na każdej stronie i ile stron ma ksia,żka?
33. Rozwia,zać zadanie hinduskie pochodza,ce z XII wieku, którego treść przedstawia naste,puja,cy wierszyk:
Bawily sie, raz malpy – wieść hinduska niesie –
Ósma ich cze,ść w kwadracie już skacze po lesie,
Pozostalych dwanaście w pla,sach i z wrzaskami
Pomie,dzy zielonymi hasa pagórkami.
Ileż ich wszystkich bylo? pyta sie, Bhashara 1 .
Zagadka nie jest trudna, chociaż bardzo stara.
34. Przez jeden kran woda wplywa do zbiornika, przez drugi zaś wyplywa ze zbiornika. Gdy
otworzymy oba krany pusty zbiornik zostanie napelniony woda, w cia,gu 12 godzin. W cia,gu
ilu godzin pierwszy kran napelnia pusty zbiornik, a drugi opróżnia pelny zbiornik, jeżeli
czas napelniania zbiornika, jest o godzine, krótszy od czasu jego opróżniania?
35. Dana jest funkcja kwadratowa postaci f (x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c ∈ R sa, ustalone
i a 6= 0 natomiast zmienna x ∈ R. Dla jakich wartości parametrów a, b, c funkcja f jest
parzysta w R?
36. a) Sformulować definicje, funkcji różnowartościowej i na jej podstawie wykazać, że funkcja
f (x) = x2 + 6x + 4 jest różnowartościowa w każdym z przedzialów (−∞, −3), h−3, +∞) z
osobna, ale nie jest różnowartościowa w R.
b) W przedzialach różnowartościowości funkcji f wyznaczyć dla niej funkcje odwrotne.
37. Sformulować definicje, ekstremum funkcji, naste,pnie obliczyć ekstrema funkcji:
a) f (x) = x2 − 14x + 28,
b) g(x) = −2x2 + 8x − 8,
c) h(x) = x2 + 8x − 16.
38. Znaleźć najwie,ksza, i najmiejsza, wartość funkcji:
a) f (x) = √
−x2 + 4x + 1, gdy x ∈ h0; 3i
b) g(x) = x2 + 4, gdy x ∈ h−1; 3i.
39. Dane sa, zbiory:
©
ª
A = (x; y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 2mx + m2 = 0
oraz
©
ª
B = (x; y) ∈ R2 : x + y − 1 ≤ .
Dla jakich wartości parametru m zbiór A ∩ B jest jednoelementowy?
40. Dla jakich wartości parametru a suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania
x2 + ax − a + 3 = 0 osia,ga najmniejsza, wartość?
41. Znaleźć maksimum funkcji f : R → R, gdy
f (x) = √
2x2
2
.
− 4x + 3
42. Sformulować definicje, funkcji maleja,cej i na jej podstawie wykazać, ze funkcja f (x) = 2x2 −7
jest malejaca w przedziale (−∞; 0).
1
Bhashara, matematyk hinduski żyja,cy w XII wieku.