Algebra liniowa z geometria analityczna Egzamin Poprawkowy 1. a

Algebra liniowa z geometria̧ analityczna̧
Egzamin Poprawkowy
1.
a) Zapisać w postaci trygonometrycznej elementy zbioru
zespolonej.
√
3
1 + i i przedstawić je na plaszczyźnie
b) W liczbach zespolonych rozwia̧zać równanie
z 2 + (2 + i)z + 2i = 0.
Rozwia̧zania zapisać w postaci a + bi.
2.
a) Znaleźć macierz X spelniaja̧ca̧ równanie
0
1
1
0
·X ·
2 −3
−1
1
+2
b) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru

2a
A= 5
a
2
1
0
1
T 1
·
0
0
1
=
4
3
6
5
a ∈ R, dla których macierz

1
1
2a −1 
1
2
ma macierz odwrotna̧. Znaleźć A−1 dla a = 1.
3.
a) Rozwia̧zać uklad równań:
2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 0
x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
x1 + 8x2 − x3 − x4 = 0
b) Podać definicje bazy i wymiaru przestrzeni liniowej.
c) Znaleźć bazȩ i wymiar przestrzeni liniowej
V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 , x2 , x3 , x4 spelniaja̧ uklad równań podany w czȩści a)}
4.
a) Podać definicjȩ przeksztalcenia liniowego. Znaleźć macierz w bazach {1+x, 1−x, 2x2 +x−3}
przestrzeni R2 [x] i {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} przestrzeni R3 przeksztalcenia liniowego
ψ : R2 [x] → R3 , danego wzorem
ψ(a + bx + cx2 ) = (2b + 2c, 2c, a − b).
b) Podać definicje ja̧dra i obrazu przeksztalcenia liniowego. W zaleźności od parametru a ∈ R
wyznaczyć wymiar ja̧dra przeksztalcenia liniowego ϕ : R3 → R4 , danego wzorem
ϕ(x, y, z) = (x + y + 3z, ax − y − 5z, 3x + y + az, 2x + ay + 2z).