docWstep do teorii funkcji zespolonych - Zestaw 2 (cw. 4-6)
download 
Reklamacja Transkrypt
Wstep do teorii funkcji zespolonych - Zestaw 2 (cw. 4-6)
Wstȩp do teorii funkcji zespolonych - Zestaw 2 (ćw. 4-6) 2 Zadanie 2.1 Czym sa̧ obrazy równolez·ników i po÷udników w rzucie stereogra…cznym sfery 2 + 2 + ( ¡ 12) = 14 na p÷aszczyznȩ zespolona̧? Zadanie 2.2 Wyznaczyć obraz danych punktów w rzucie stereogra…cznym a) = (0 12 12) b) = (¡12 0 12), c) = (12 0 12) d) = (13 13 13) Zadanie 2.3 Wyprowadzić ogólny wzór na obraz punktu = ( ) (lez·a̧cego na sferze) w rzucie stereogra…cznym. Zadanie 2.4 Wyznaczyć przeciwobrazy danych p ¢ w rzucie stereogra…cznym ¡ punktów a) = ¡ b) = 1 + c) = 12 1 + 3 d) = 1 Zadanie 2.5 Wyprowadzić ogólny wzór na przeciwobraz punktu = + (lez·a̧cego na p÷aszczyz·nie) w rzucie stereogra…cznym. Zadanie 2.6 na p÷aszczyźnie zespolonej zbiory: a) = f 2 : j ¡ 2j = j + 2jg ¯ ½ Narysować ³ ´2 ¯¯ ³ ´2 ¾ ¯ ¯ Re 1¡3 b) = 2 : ¯¯ + 1¡3 c) = f 2 : j1 + 2j j ¡ 1j j3 + 4jg ¡1 ¯ ¡1 Zadanie 2.7 p © Narysować na p÷aszczyźnie ¡ ¢ª zespolonej© zbiory ª © ª a) = 2 : Re (2) Im 2 b) = 2 : Im 2 ¸ Re 2 c) = 2 j ¡ 1j ¸ 2 jj Zadanie 2.8 Dla dowolnych liczb zespolonych 1 2 oraz rzeczywistego podać interpretacjȩ wyraz·eń: a) 1 b) 1 + 2 j1 + 2 j c) 1 ¡ 2 j1 ¡ 2 j d) e) Zadanie 2.9 Wykazać, z·e dla dowolnych liczb zespolonych 1 2 prawdziwe sa̧ nierówności: a) j1 + 2 j2 = j1 j2 + j2 j2 + 2 Re (1 2 ) b) j1 ¡ 2 j2 = j1 j2 + j2 j2 ¡ 2 Re (1 2 ) Zadanie 2.10 Wykazać, ³ z·e dla dowolnych ´ liczb zespolonych 1 2 prawdziwa jest równość równoleg÷oboku: j1 + 2 j2 + j1 ¡ 2 j2 = 2 j1 j2 + j2 j2 Podać interpretacjȩ geometryczna̧ tej równości Zadanie 2.11 Wykazać, z·e dla dowolnych liczb zespolonych 1 2 prawdziwe sa̧ nierówności: a) j1 + 2 j · j1 j + j2 j b) j1 ¡ 2 j ¸ jj1 j ¡ j2 jj Zadanie 2.12 Dla dowolnych liczb zespolonych 1 2 podać interpretacjȩ geoemtryczna̧ równości (lub nierówności) ³ ´ 2 2 2 a) a) j1 + 2 j · j1 j + j2 j b) j1 ¡ 2 j ¸ jj1 j ¡ j2 jj c) j1 + 2 j + j1 ¡ 2 j = 2 j1 j + j2 j2 ³ p ´ Zadanie 2.13 Podać środek i promień euklidesowy kó÷ sferycznych: a) (0 12) b) 22 (1 + 12) p ¢ ¡ Zadanie 2.14 Podać środek i promień sferyczny kó÷ euklisedowych: a) (1 1) b) (2 1) c) 1 ¡ 2 Zadanie 2.15 Zbadać zbiez·ność cia̧gów o wyrazie ogólnym p ¡ ¢ 2 + a) = b) = (2) c) = d) = + 1 e) = ¡ 2 + 1 3 Zadanie 3.1 Zbadać zbiez·ność cia̧gów o wyrazie ogólnym Zadanie 3.2 a) = 2 + 3 ¡ 22 1 ¡ 2 ¡ (1 + ) 2 b) = 22 + 2 + ¡3+ Zadanie 3.3 Zbadać zbiez·ność cia̧gów o wyrazie ogólnym µ 2 ¶ ³ ´ + 2 + 3 2+3 Zadanie 3.4 a) = 1 + +1 b) = 2 ¡ 2 + 3 2+3 + (3)+2 2¡3 ¡ 3¡1 d) = ¢ 2+3 + 3¡2 2¡3 ¡ ¢ 3 p 2 + + 1 ¡ + 2 d) = 2 p ¡ 2 + 1 c) = c) = Zadanie 3.5 Wykazać, z·e lim = 0 to lim j j = j0 j podać przyk÷ad, z·e implikacja odwrotna nie jest prawdziwa !1 !1 ¡ Zadanie 3.6 Wykazać, z·e a) jez·eli lim = 0 to lim 1 + !1 !1 ¢ ¡ b) jez·eli lim = 1 to lim 1 + !1 !1 ¡ ¢ Zadanie 3.7 Wykazać, z·e dla dowolnego 2 prawdziwa jest równość lim 1 + = = 1 ¢ = !1 Zadanie 3.8 Zbadać zbiez·ność szeregów 1 1 1 2 P P P a) (1 ¡ ) b) c) 2 =1 =1 (2) =1 Zadanie 3.9 Wyznaczyć sumȩ szeregów: a) 1 P µ ¶2 d) 1+ =1 1 P 1 ( + ) ( + 1 + ) =1 1 b) e) 1 P =1 1 P 1 =1 + c) f) 1 P =1 1 1 (¡1) P P g) =1 =1 + cos d) 1 P =1 sin
