Zestaw 4 (liczby Stirlinga i nie tylko :)) Zad.1 Wykazać (jeśli się da, to

Zestaw 4 (liczby Stirlinga i nie tylko :))
Zad.1 Wykazać (jeśli się da, to być bez użycia indukcji), że:
a)
( )
n
∑
n
= 2n ,
i
i=0
b)
n
∑
( )
n
i
(−1)i
i=0
c)
( )
n
∑
n
i:2|i
d)
=
i
( )
n
∑
n
i:2-i
(
)
n+m+1
m
e)
(
n+m
r
)
=
= 0,
=
i
= 2n−1 ,
(
)
m
∑
n+i
i
i=0
,
( )(
)
r
∑
m
n
j=0
r−j
j
.
Zad.2 Ile liczb całkowitych z przedziału od 1 do 250 jest podzielnych przez co najmniej
jedną z cyfr: 2, 3, 5, 7?
Zad.3 Niech S(n) oznacza następujące zdanie:
n
∑
(
n+
i=
i=1
1
2
)2
.
2
Wykazac, że prawdziwość S(n) implikuje prawdziwość S(n + 1) dla dowolnego n ∈ N+ . Czy
S(n) jest prawdziwe dla n ∈ N+ ?
Zad.4 W ilu permutacjach liter a, b, c, d, e, f , g:
a) nie pojawia się sylaba cad?
b) nie pojawiają się sylaby beg oraz cad?
Zad.5 Na ile sposobów można podzielic zbiór {1, 2, ..., n} na dwa niepuste zbiory?
Zad.6 Pokazać, że liczba podziałów zbioru {1, 2, ..., n} na trzy niepuste zbiory wynosi
+ 1 − 2n ).
1 n−1
2 (3
Zad.7 Każdego roku pewna populacja królików podwaja się. Jeżeli początkowo było k
królików, to ile ich będzie po n latach?
Zad.8 Wyznaczyć liczbę an ciągów binarnych długości n, w których żadne dwa zera nie
występują obok siebie.
Zad.9 Udowodnić, że
( )
n
.
2
S(n, n − 1) =
Zad. 10 Pokazać, że
S(n, k) =
n−1
∑(
r=0
)
n−1
S(r, k − 1).
r
Zad. 11 Parlament UE uchwalił ustawę zarządzającą, że każda z flag narodowych krajów
UE musi zawierać m pionowych pasów pokolorowanych na jeden z n kolorów w ten sposób,
że sąsiadujące pasy są różnych kolorów (lewy bok flagi jest wyróżniony). Ile flag może być
skonstruowanych w ten sposób?
Zad. 12 Ile słów 11-to literowych można utworzyć z liter słowa MISSISSIPPI ?
Zad. 13 Ile jest suriekcji z zbioru 14 elementowego na zbiór 6 elementowy?
2