1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja

1. Wielomiany
Podstawowe definicje i twierdzenia
Definicja wielomianu.
Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem
w(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , przy czym n ∈ N ∪ {0}, a0 , a1 , . . . , an ∈ R oraz
an 6= 0.
Liczby a0 , a1 , . . . , an nazywamy współczynnikami wielomianu, zaś liczbę a0 nazywamy też
wyrazem wolnym. Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu w i oznaczamy symbolem
st.w(x).
Definicja wielomianu zerowego.
Wielomian w, dla którego prawdziwy jest związek: w(x) = 0 dla każdego x ∈ R, nazywamy wielomianem zerowym. Piszemy wówczas w(x) ≡ 0.
Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.
W przypadku, gdy wielomian w zmiennej x nie jest wielomianem zerowym, będziemy
pisać w(x) 6≡ 0.
Definicja pierwiastka wielomianu.
Liczbę rzeczywistą a nazywamy pierwiastkiem wielomianu w wtedy i tylko wtedy, gdy
w(a) = 0.
Definicja równości wielomianów.
Wielomiany w1 oraz w2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy w1 (x) = w2 (x) dla każdego
x ∈ R.
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są albo zerowe albo są tego samego
stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Twierdzenie o rozkładzie wielomianu.
Jeżeli w oraz p są wielomianami oraz p(x) 6≡ 0, to istnieją wielomiany q oraz r takie, że
w(x) = q(x)p(x) + r(x), przy czym r(x) ≡ 0 albo st.r(x) < st.p(x).
Wielomian r(x) nazywamy resztą dzielenia w(x) przez p(x), natomiast q(x) – ilorazem
(zupełnym, gdy r(x) ≡ 0, niezupełnym, gdy r(x) 6≡ 0).
Wielomian p(x) nazywamy podzielnikiem (lub dzielnikiem) wielomianu w(x) wtedy i
tylko wtedy, gdy r(x) ≡ 0.
Twierdzenie Bézouta.
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian w(x) jest
podzielny przez dwumian x − a.
Twierdzenie o reszcie.
Reszta dzielenia wielomianu w(x) przez x−a jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. w(a).
Twierdzenie o rozkładzie wielomianu.
Każdy niezerowy wielomian w(x) jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.
Twierdzenie o liczbie pierwiastków.
Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
1
2
Twierdzenie o postaci iloczynowej wielomianu.
Jeśli wielomian n-tego stopnia w zdefiniowany równością w(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · +
a1 x + a0 ma n pierwiastków rzeczywistych x1 , x2 , . . . , xn , to
w(x) = an (x − x1 )(x − x2 ) · · · · · (x − xn ).
Definicja pierwiastka k-krotnego wielomianu.
Liczbę a nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu w, jeśli w(x) dzieli się przez
(x − a)k i nie dzieli się przez (x − a)k+1 .
Liczbę naturalną k nazywamy krotnością pierwiastka.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.
Jeżeli liczba wymierna pq , gdzie p ∈ C oraz q ∈ C \ {0}, jest pierwiastkiem wielomianu
w(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 o współczynnikach całkowitych, przy czym
an 6= 0 i a0 6= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0 , natomiast q jest podzielnikiem
współczynnika an .
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych.
Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w o współczynnikach całkowitych
zdefiniowanego przy pomocy równości w(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , przy
czym a0 6= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0 .
2. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
3
Zadanie 1.1. Obliczyć resztę z dzielenia wielomianu w(x) = x3 − x2 − 5x + 1 przez
dwumian (x − 2).
Zadanie 1.2. Dla jakiej wartości parametru a wielomian w(x) = 2ax3 − 4x2 + ax − 2a
jest podzielny przez (x − 2)?
Zadanie 1.3. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek:
wielomian x2 − 3x + 2 jest dzielnikiem wielomianu (x − 2)2n + (x − 1)n − 1.
Zadanie 1.4. Wielomian w(x) = x4 + (a − 3)x3 + x − 2b + 2 jest podzielny przez trójmian
(x2 − x − 2). Wyznaczyć resztę z dzielenia w(x) przez dwumian (x − 1).
Zadanie 1.5. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian w(x) = x3 + 2x2 + ax + b
przy dzieleniu przez wielomian q(x) = x2 + x − 2 daje resztę r(x) = 4x − 3?
Zadanie 1.6. Wyznaczyć te wartości parametrów p i q, dla których wielomian x3 + 8x2 +
5x − p jest podzielny przez x2 + 3x − q.
Zadanie 1.7. Pewien wielomian daje przy dzieleniu przez x−1 resztę 2, zaś przy dzieleniu
przez x − 2 resztę 3. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (x − 1)(x − 2)?
Zadanie 1.8. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu w(x) = x1000 + 5x − 1 przez
wielomian p(x) = x3 − x.
Zadanie 1.9. Dla jakich parametrów p i q równanie x3 + px + q = 0 ma pierwiastki x1 ,
x2 , x3 takie, że x1 = x2 = x3 + 6.
Zadanie 1.10. Dane jest równanie x4 + bx3 + 2x2 + ax + 1 = 0. Dla jakich wartości
parametrów a i b liczba −1 jest podwójnym pierwiastkiem tego równania?
Zadanie 1.11. Wyznaczyć największy z pierwiastków wielomianu w(x) = x3 − ax2 −
7x + 10, wiedząc, że jednym z jego pierwiastków jest 1.
Zadanie 1.12. Rozwiązać równanie 8x3 − 8x + 3 = 0.
Zadanie 1.13. Rozwiązać nierówność 2x3 + 2x2 − 3x − 3 > 0.
Zadanie 1.14. Dany jest wielomian określony równścią w(x + 1) = x3 − x + 6. Rozwiązać
nierówność w(x − 1) > 0.
Zadanie 1.15. Rozwiązać nierówność (x2 + 3)(x − 1)3 (2x − 1)(1 − 2x)(x − 4)2 ¬ 0.
2. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 2.1. Dla jakich wartości a oraz b równe są wielomiany w oraz g · h, gdy w(x) =
x4 + 4x3 − 8x − 4, g(x) = x2 − 2, zaś h(x) = x2 + ax + b?
a = 4, b = 2
Zadanie 2.2. Wykonać dzielenie wielomianów:
(a) (x3 + 4x2 + x − 6) : (x + 3),
(b) (x4 − x3 − 7x2 + 13x − 6) : (x2 + 2x − 3),
(c) (4x6 − 5) : (2x3 + 8x2 − 3),
(d) (3x3 − 13x + 4) : (4x2 + 12x + 9),
(e) (x3 − 3ax + a3 + 1) : (x + a + 1).
Zadanie 2.3. Wiedząc, że liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania 2x3 +mx2 −13x+n = 0
znaleźć trzeci pierwiastek.
x = − 25
Zadanie 2.4. Wielomian x4 − 3x3 + ax2 + bx − 18 ma pierwiastek podwójny
równy√ 3.
√
17−3
,
− 3+2 17
Obliczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
2
4
Zadanie 2.5. Liczby 1 oraz -2 są pierwiastkami równania x4 + ax3 + bx2 + 4 = 0.
Wyznaczyć a, b oraz pozostałe pierwiastki równania.
a = 0, b = −5, x3 = −1, x4 = 2
Zadanie 2.6. Dla jakich wartości p oraz q wielomian x4 + px2 + q jest podzielny przez
wielomian x2 + 2x + 5?
p = 6, q = 25
Zadanie 2.7. Wielomian w(x) = x4 − 2x3 − bx2 + (2a + 1)x − 2 jest podzielny przez
trójmian (x2 − 3x + 2). Wyznaczyć resztę z dzielenia w(x) przez dwumian (x + 1).
Zadanie 2.8. Dla jakich wartości m oraz n wielomian x3 + 6x2 + 3x − m jest podzielny
przez wielomian x2 + 2x + n?
m = 20, n = −5
Zadanie 2.9. Wyznaczyć liczby a oraz b tak, aby wielomian ax4 + bx3 + 1 dzielił się przez
(x − 1)2 .
a = 3, b = −4
Zadanie 2.10. Dany jest wielomian
f (x) = x3 − (2m + n)x2 + (3n + 2mn − 2m)x + 2(2m2 − mn − n2 ).
Jaka zależność powinna zachodzić pomiędzy liczbami m oraz n, aby ten wielomian był
podzielny przez dwumian x − n ?
n = 2m
Zadanie 2.11. Wyznaczyć współczynniki m, n, p oraz q tak, aby wielomian x4 + mx3 +
2
nx2 + 12x + 4 był równy wielomianowi x2 − px + q .
m = 6, n = 13, p = −3, q = 2 lub m = −6, n = 5, p = 3, q = −2
Zadanie 2.12. Wyznaczyć współczynniki p oraz q równania x4 −10x3 +37x2 +px+q = 0,
jeżeli wiadomo, że równanie to ma cztery rozwiązania x1 , x2 , x3 oraz x4 spełniające
warunki x1 = x2 oraz x3 = x4 .
p = −60, q = 36
Zadanie 2.13. Wyznaczyć te wartości parametrów p, q oraz r, dla których wielomian
x4 − 5x3 + px2 + qx − r jest podzielny przez (x − 1)3 .
p = 9, q = −7, r = −2
Zadanie 2.14. Wielomian w daje przy dzieleniu przez wielomiany x + 1, x + 2 oraz x + 3
reszty równe odpowiednio 1, 2 oraz 3. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu w przez
wielomian (x + 1)(x + 2)(x + 3).
r(x) = −x
Zadanie 2.15. Wykazać, że nierówność x4 + 13x2 + 4 ­ 6x3 + 12x jest prawdziwa dla
każdej liczby rzeczywistej.
Zadanie 2.16. W zależności od wartości parametru m wyznaczyć liczbę pierwiastków
wielomianu f określonego równością f (x) = x3 − mx + 2m − 8.
Zadanie 2.17. Rozwiązać równanie:
(1) 2x3 − 3x2 − 3x + 2 = 0,
(2) 27x3 − 9x2 − 3x + 1 = 0,
(3) 5x3 − 19x2 − 38x + 40 = 0,
(4) 3x4 − 10x3 + 10x − 3 = 0,
(5) 6x4 + 7x3 − 12x2 − 3x + 2 = 0,
(6) x4 − 3x3 − 8x2 + 12x + 16 = 0,
(7) x5 − 2x4 − 13x3 + 26x2 + 36x − 72 = 0,
(8) 12x5 − 8x4 − 45x3 + 45x2 + 8x − 12 = 0,
(9) x5 − x4 − 3x3 + 5x2 − 2x = 0,
(10) 3x2 − 12x − (x2 − 4x)2 + 10 = 0,
(11) (x2 − 3x + 4)(x2 − 3x − 1) = −6,
(12) (3x2 + x − 2)2 = 30x2 + 10x − 36,
x ∈ {−1, 12 , 2}
x ∈ {− 13 , 13 }
x ∈ {−2, 45 , 5}
x ∈ {−1, 13 , 1, 3}
x ∈ {−2, − 12 , 13 , 1}
x ∈ {−2, −1, 2, 4}
x∈ {−3, −2, 2, 3}
x ∈ −2, − 12 , 23 , 1, 32
√x ∈ {−2,
√ 0, 1}
x ∈ −1,n2 − 2, 2 + 2, 5o
x∈
√
√
3− 5
3+ 5
2 , 1, 2,
2
x ∈ {−2, − 43 , 1, 53 }
2. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
(13) x4 + 3 − 3x3 + x = 0.
Zadanie 2.18. Rozwiązać nierówność:
(1) x3 − 5x2 + 10x− 12 < 0,
(2) 3x2 − 13x + 4 4x2 + 12x + 9 ¬ 0,
(3) (2x − 5) x5 − 4x3 + 8x2 − 32
¬ 0,
(4) (x − 3)2 x2 + x + 1 x2 − 9 (x + 2)3 x ­ 0,
(5) x3 − 1¬ x2 + x + 1,
(6) 4 − x2 x2 − 6x + 8 x3 − 27 ­ 0,
5
x ∈ {−3, −1, 1, 3}
x ∈(−∞, 3)
x ∈ − 32 ∪ h 31 , 4i
x ∈ {−2} ∪ h2, 25 i
x ∈ (−∞, −3i ∪ h−2, 0i ∪ h3, +∞)
x ∈ h0, 2i
x ∈ (−∞, −2i ∪ {2} ∪ h3, 4i
Zadanie 2.19. Dana jest funkcja f określona równością f (x) = x2 + 2x. Rozwiązać nie2
równość
f (f (x)) < (f (x)) .
x ∈ (−2, 0)