WYKŁAD 4

1
WYKŁAD 4
5. WIELOMIANY
JEDNOMIANEM JEDNEJ ZMIENNEJ rzeczywistej nazywamy funkcję :
∶ = ∈ ℕ ∈ ℝ ∈ ℝ .
Jeśli :
- ≠ ę − ,
- ≠ = !
∶ = !
"#
$
,
- = ∶ = !
$.
WIELOMIANEM JEDNEJ ZMIENNEJ rzeczywistej nazywamy funkcję, która jest sumą
jednomianów :
∶ = % &' = + + + … … … … + + + ∈ ℕ ∈ ℝ = (0,1,2, … … … ) ∈ ℝ .
!
ś ≠ ę − .
Dwa wielomiany :
% &' = + + + … … … … + + + * &' = + + + + + + … … … … + + + + + +
i
są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy
odpowiednich potęgach zmiennej = + ∈ (, ,, -, … … … . . ).
Przykład
Dla jakich wartości parametrów p, m, s i k wielomiany %&'.&' są równe, jeśli :
%&' = / − 0 + 1 − /.&' = − & − 2' + &3 + -'
+ & + ,' + 1 − /.
Jeśli wielomiany mają być równe to :
= / ∧ − 2 = ∧ 3 + - = ∧ + , = 0
czyli
= / ∧ = 2 ∧ 3 = −- ∧ = 1
5.1.DZIAŁANIA
NA WIELOMIANACH
1. DODAWANIE (ODEJMOWANIE) WIELOMIANÓW
Jeśli dane są dwa wielomiany:
% &' = + + + … … … … + + + * &' = + + + + + + … … … … + + + + + +
i
- to SUMA WIELOMIANÓW jest wielomianem :
.&' = %&' + *&' =
= & + + ' + ( + + ) + ( + + ) + … … + ( + + ) +
+( + + ) + + +
- to RÓŻNICA WIELOMIANÓW jest wielomianem :
4&' = %&' − *&' =
2
= & − + ' + ( − + ) + ( − + ) + … … + ( − + ) +
+( − + ) + − +
2. MNOŻENIE WIELOMIANÓW
Jeśli dane są dwa wielomiany:
% &' = + + + … … … … + + + i
* &' = + + + + + + … … … … + + + + + +
ILOCZYNEM WIELOMIANÓW % &' i * &' jest wielomian, który powstaje poprzez
wymnożenie każdego wyrazu wielomianu % &' przez każdy wyraz wielomianu * &' ,
następnie redukcji i uporządkowaniu.
a
Przykłady :
Oblicz sumę, różnicę oraz iloczyn wielomianów % &' i * &', jeśli ∶
i
*&' = - − / + 1
%&' = − 0 + + ,
•
.&' = %&' + *&' = − 0 + + , + - − / + 1 = − / − 5 + 0,
•
4&' = %&' − *&' = − 0 + + , − 6- − / + 17 = − 8 + 1 − /,
•
9&' = %&' ∙ *&' = 6
− 0 + + ,7 ∙ 6- − / + 17 =
= - − ,8 + 52
− 5/ + − /
3. DZIELENIE WIELOMIANÓW
Dzielenie wielomianu % &' przez wielomian * &' , gdzie > jest operacją podobną do
dzielenia liczb ( tzw. dzielenia pod kreską ). Dzielenie to może zakończyć się resztą. Jeśli reszta
wyniesie 0, to mówimy wtedy o dzieleniu bez reszty. Dzielenie wielomianów najlepiej jest
przedstawić na przykładzie liczbowym. Podzielmy więc wielomian
%&' = − 1
+ ,1 − -- + ,/ przez wielomian *&' = − - + 2.
%&' ∶ *&' = 4&' ⟺ 4&' ∙ *&' = %&'
− 5 + /
6 − - + 27
( − 1
+ ,1 − -- + ,/) ∶
−( − -
+ / = −5
+ ,2 − --
−&−5
+ : − ,-'
= / − , + ,/
−&/ − , + ,/'
===
5.2.PIERWIASTKI
( MIEJSCA ZEROWE) WIELOMIANÓW
Liczba jest pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu wtedy i tylko wtedy gdy %&' = .
Twierdzenie
Liczba wymierna
jest pierwiastkiem wielomianu :
% &' = + + + … … … … + + + wtedy i tylko wtedy, gdy p – jest całkowitym podzielnikiem wyrazu wolnego , zaś q – jest
całkowitym podzielnikiem wyrazu stojącego przy najwyższej potędze .
3
Twierdzenie BEZOUT’a
Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu % &' wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian % &' jest
podzielny przez dwumian − .
Twierdzenie
Liczba p jest k – krotnym pierwiastkiem wielomianu % &' wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
% &' jest podzielny przez dwumian & − ' , ale nie jest podzielny przez & − ' . Liczbę k –
nazywamy krotnością pierwiastka.
Twierdzenie
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia
drugiego :
%&' = & − '& − ' … … … … . & − '6 + + ;7 … … … … … … … …
< = − 5;
Twierdzenie
Wielomian jednej zmiennej %&' stopnia n ma co najwyżej n – pierwiastków. Wielomiany
nieparzystego stopnia mają zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
5.3. RÓWNANIA
WIELOMIANOWE
%&' = czyli
+ + + … … … … + + + = Rozwiązać równanie wielomianowe to znaleźć jego wszystkie pierwiastki lub wykazać, że wielomian
nie ma pierwiastków.
Aby rozwiązać równanie wielomianowe %&' = , należy rozłożyć wielomian na czynniki stopnia
pierwszego lub nierozkładalne czynniki kwadratowe i korzystając z własności iloczynu, tzn. iloczyn
jest równy zero jeśli choć jeden z jego czynników jest równy zero.
Przykłady :
Rozwiąż równania :
•
6 − -7 − , = 6 − - − ,76 − - + ,7 = − - − , = lub
− - + , = & − ,' = ∆= 5 + 5 = :√∆= -√-
= , − √-> = , + √->
, = ,
•
•
− / − ,1 + : = & − /' − ,1& − /' = & − /'6 − ,17 = & − /'& − 5'& + 5' = = /> = 5>? = −4.
− = −/ − 2
− + 2 + / = = (,, −,, /, −/)
4
%&,' = , − , + 2 + / ≠ %&−,' = −, − , − 2 + / = ⇒ = −,
Tw. Bezout’a
− - + /
:& + ,'
(
− + 2 + /)
−( + )
= −- + 2
−&−- − -'
= / + / −&/ + /'
==
− - + / = ∆= 5 − 5 ⋅ / = −,1 < 0 ∈ ∅
!
#
$"@
!
" = −,.
5.4. WYKRESY
WIELOMIANÓW
Wielomiany nieparzystego stopnia muszą mieć choć jeden rzeczywisty pierwiastek, czyli wykres
takiego wielomianu musi przecinać oś AB, przynajmniej w jednym punkcie.. Na przykład wielomian
trzeciego stopnia %&' = + + ? + może mieć postać iloczynową %&' =
& − '6 + + ;7
− 5; < 0>
%&' = & − '& − '& − '.
Przykład wykresów takich wielomianów przedstawia poniższy rysunek.
Wielomiany parzystego stopnia mają parzystą liczbę miejsc zerowych, czyli mogą mieć 0 , 2, 4 itd.
miejsc zerowych. Dla przykładu wielomian czwartego stopnia
%&' = + + + + może mieć 0, 2 lub 4 pierwiastki i postać iloczynową :
%&' = 6 + C + 76 + + ;7
− 5; < 0C − 5 < 0>
%&' = & − '& − '6 + + ;7
− 5; < 0>
%&' = & − '& − '& − '& − '.
Przykład wykresów takich wielomianów przedstawia poniższy rysunek.
5
5.5. NIERÓWNOŚCI
ŚCI
WIELOMIANOWE
Nierównością
ś ą wielomianowąą lub inaczej nierównością
ś ą wyższego
ższego stopnia nazywamy jedno z wyraż
wyrażeńń :
0
0
,
gdzie … … … … .
, to określić dla jakich wartości
Rozwiązać nierówność np. ści argumentów wielomian
przyjmuje wartości
śści niedodatnie. Do rozwią
rozwiązywania
ą
nierówności
śści wielomianowych, podobnie jak
przy równaniach, korzystnym jest określenie
okreś
postaci iloczynowej wielomianu.
Przykłady :
Rozwiąż nierówność :
0
0
0
0
•
0
0
- siatka znaków
x
(-∞, -3 (-3,2) 2
(2,3) 3
(3,+∞
-
0
+
+
+
+
+
+
+
+
0
+
+
+
-
-
-
-
-
0
+
+
0
-
0
-
0
+
∈ ∞, ∨ , ∞
6
- szkic wielomianu
∈ ∞, ∨ , ∞
•
∆ √∆
∨ ∈ 〈, 〉 ∨ # $ ∨ 〈 , %∞%
•
'
' ' ∆ √∆
∆ ' ∨ ' /√ ∨ /√
|| ||| ∨ ∨ ∨ stąd :
∈ ∞,%〉 ∨ 〈 , 〉 ∨ 〈,%∞
∞
•
∆ √∆ ∨ + , /:
7
〈 〉 ∨ 〈, %∞%
∈ 〈, 〉 ∨ 〈 , 〉 ∨ 〈,
6. FUNKCJA
WYMIERNA
Funkcję typu
/ ∶ 1 23456?5?3@A@B6A56@C5DBE
A56@C5DBE
- nazywamy
I $.
funkcją wymierną. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór F G ∖ # ∶ ?
Najprostszym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja :
/ ∶ 1 23456
I ∈ G ∖ #$.
Wykresem takiej funkcji jest hiperbola równoosiowa . Dla przykładu na poniższym
ższym rysunku
przedstawiono wykresy funkcji 1 51 .
Funkcję / ∶ 1 23456
23456< I ∧ = ;< I ∧ ∈ G ∖ K L
- nazywamy
funkcją homograficzną. Wykres funkcji homograficznej powstaje w wyniku przesunięcia
przesunię
wykresu
89 :7 , 7 M, którego współrzędne
funkcji 1 o wektor 7
ę
wynikająą z wartości współczynników
, ;, <5=.
Operacja powyższa
ższa przedstawiona jest na przykład
przykładzie funkcji ;
/ ∶ 1 23456
23456
- przekształćmy wzór funkcji / :
/ ∶ 1 - a zatem wykres funkcji
> ∶ 1 ∈ G ∖ #$
⇒ 1 / ∶ 1
1 powstanie w wyniku przesunięcia wykresu funkcji
o wektor 879 +, ,, co przedstawia rysunek:
8
Na podstawie wykonanego wykresu funkcji / ∶ 1 łatwo opisaćć jej własnoś
własności :
-
dziedzina F G ∖ #$,
$
zbiór wartości O G ∖ # $,
funkcja przyjmuje wartości
ści dodatnie / 03D ∈ ∞, ,
funkcja przyjmuje wartości
ści ujemne / 03DP ∈ ∞, ,
funkcja jest rosnąca
ąca przedziałami,
funkcja jest różnowartościowa,
funkcja ma dwie asymptoty : - poziomą o równaniu 1 i
- pionową o równaniu .
Wykonanie wykresu
esu funkcji wymiernej o bardziej skomplikowanym wzorze wymaga znajomości
znajomoś
matematyki w zakresie rozszerzonym.
rozszerzonym. Przykładowe wykresy funkcji wymiernych przedstawiono na
rysunku.
/ ∶ 1 ૛ 3D ∈ G ∖ # , $
૛ 6.1. RÓWNANIA
WYMIERNE
> ∶ 1 ૛ 3D ∈ G ∖ # , $
9
Równanie wymierne to równanie typu :
= *&' ≠ ∧ %&' = .
Przykłady :
Rozwiąż równania :
•
࢞
࢞ା૚
=
+ , ≠ ∧ − , = D = E
F = ℝ ∖ (−,, ,)
≠ −, ∧ ≠ ,
૛࢞
࢞ି૚
-
=
|⋅ & − ,'& + ,'H
+, −,
& − ,' = -& + ,'
− − - − - = − − 2 = −& + 2' = = ∨ = −2
- obie liczby = (−2, ) ∈ D ⇒ ąCIąICó.
•
࢞ା૛
࢞ି૛
=
࢞ା૜
࢞ି૜
+
૛
࢞૛ ି૞࢞ା૟
− - ≠ ∧ − 2 ≠ ∧ − / + 1 ≠ D = J ≠ - ∧ ≠ 2< = -/ − -5 = ,√< = ,K = ℝ ∖ (-, 2)
≠ - ∧ ≠ 2
+- +2
=
+ |⋅ & − -'& − 2'H
− - − 2 − / + 1
& + -'& − 2' − & + 2'& − -' − - = + - − 2 − 1 − − 2 + - + 1 − - = −- = -|∶ &−-'H
= −, ∈ D ⇒ LIC3Có.
6.2. NIERÓWNOŚCI
WYMIERNE
Nierówności wymierne to wyrażenia typu :
> 0 ∨ ≥ ∨ < 0 ∨ ≤ *&' ≠ .
Nierówność wymierną można sprowadzić do równoważnej nierówności wielomianowej :
np.
≤ *&' ≠ ⟺ %&' ∙ *&' ≤ ∧ *&' ≠ .
Przykłady :
Rozwiąż nierówność :
10
•
൐
I ∧ I F R I ∧ I S G ∖ #, $
I ∧ I | ૛ |
૛ 2
૛ 0
∆ √∆ ૚ ∨ ૛ 0
∈ ∞, ∨ , ∞
૛ ૛ ૛ !"#
!"# ∈ %
ࢌ ' % ∖ (, )
∧ ૝
•
ሺ࢞ି૜ሻ൫࢞૛ ି૛࢞ି૜൯
࢞૝ ି૚
૛ ∆ √∆ ૚ ∨ ૛ ૛ Q
% ∈ ∞, ∨ •
൫࢞૛ ା࢞ି૛൯൫࢞૛ ା૞࢞ା૝൯
࢞૛ ି૟࢞ାૡ
ࢌ % ∖ , ∙ ૛ 11
∈ ∞, 〉 ∨ 〈, 〉 ∨ 〈, ∨ , ∞
.
•
* +* ++
൑૙
F G ∖ #, $
Q∶ @
0%
∈ 〈, 〉 ∩ G ∖ , 〈 , ∨ , 〉.