Kody wielomianowe okreœlone przez pierwiastki

Kody wielomianowe określone przez pierwiastki
Wielomian g(x) o współczynnikach z ciała GF(p) jest nieredukowalny w ciele GF(p), jeżeli
nie da się rozłożyć na iloczyn wielomianów niższych rzędów w tym ciele (np.
g ( x ) = x 3 + x + 1 jest nieredukowalny w GF(2)).
Jeżeli g(x) jest wielomianem nieredukowalnym o współczynnikach z ciała GF(p) i α jest jego
2
3
pierwiastkiem, to α p ,α p ,α p ,… są również jego pierwiastkami. Wielomian g(x) jest
nazywany funkcją minimalną pierwiastka α.
Przykład
Pokażemy, że g ( x ) = x 3 + x + 1 jest wielomianem nieredukowalnym
w ciele GF(2) oraz
funkcją minimalną pierwiastka α ∈ GF ( 8 ) .
Na mocy powyższej własności, zarówno α2 jak i α4 będą pierwiastkami tego wielomianu. Ma
on więc postać:
g ( x ) = ( x − α ) ( x − α 2 )( x − α 4 ) = x3 − (α + α 2 + α 4 ) x 2 − (α 3 + α 5 + α 6 ) x − α 7
Korzystając z tabeli potęg elementu prymitywnego w ciele GF(8) mamy
α +α 2 +α 4 = 0
α 3 +α 5 +α 6 = 1
Szukany wielomian to g ( x ) = x 3 + x + 1 .
Wielomian kodowy
Wielomiany bi(x) (i=1, ..., 2k) stopnia co najwyżej (n-1) o współczynnikach z ciała GF(p) są
wielomianami kodowymi określonego kodu wielomianowego (n,k), jeśli każdy z wielomianów
ma pierwiastki β1, β2, ..., βr (r ≤ n-k) należące do ciała GF(pm).
Wielomian generujący
g ( x ) = NWW  mβ1 ( x ) , mβ 2 ( x ) ,..., mβ r ( x )  ,
gdzie NWW – najmniejsza wspólna wielokrotność, mβi ( x ) jest funkcją minimalną
pierwiastka βi
Kody BCH (Bose, Ray-Chaudhuri, Hocquenghem)
Są to kody korygujące więcej niż 1 błąd i będące uogólnieniem kodów Hamminga.
Prymitywnym kodem BCH o zdolności korekcyjnej t błędów z elementami ciągu kodowego
należącymi do ciała GF(p) nazywamy kod o długości ciągów kodowych n = pm-1, który ma
następujące pierwiastki wielomianu generującego g(x): α i0 ,α i0 +1 ,…α i0 + 2t −1 , przy czym α jest
elementem prymitywnym ciała GF(pm), natomiast i0 jest pewną liczbą naturalną.
g ( x ) = NWW  mα i0 ( x ) , mα i0 +1 ( x ) ,..., mα i0 +2 t−1 ( x ) 
gdzie mα i ( x ) jest funkcją minimalną pierwiastka αi. Gdy i0 = 1, mówimy o kodach BCH w
węższym sensie.
Przykład Kod BCH (15,9)
t = 2, i0 = 1, n = 15 ⇒ m = 4
Pierwiastki wielomianu generującego α, α2, α3, α4, gdzie α jest elementem prymitywnym
ciała GF(16)
mα ( x ) = ( x − α ) ( x − α 2 )( x − α 4 )( x − α 8 ) = x 4 + x + 1
mα 2 ( x ) = ( x − α ) ( x − α 4 )( x − α 8 )( x − α 16 ) = x 4 + x + 1
mα 3 ( x ) = ( x − α 3 )( x − α 6 )( x − α 12 )( x − α 9 ) = x 4 + x3 + x 2 + x + 1
mα 4 ( x ) = ( x − α 4 )( x − α 8 ) ( x − α ) ( x − α 2 ) = x 4 + x + 1
g ( x ) = NWW  mα ( x ) , mα 2 ( x ) , mα 3 ( x ) , mα 4 ( x )  = ( x 4 + x + 1)( x 4 + x3 + x 2 + x + 1) =
x8 + x 7 + x 6 + x 4 + 1
Kod BCH(15,7) ma zdolność korekcji nie tylko błędów pojedynczych i podwójnych, lecz
również istnieją pewne korygowalne sekwencje błędów potrójnych, do poprawy których
dekoder musi być jednak specjalnie dostosowany.
Reprezentacja ciała GF(8) za pomocą potęg
elementu prymitywnego α
Wielomian nieredukowalny charakterystyczny: g ( x ) = x3 + x + 1
Reprezentacja ciała GF(16) za pomocą potęg
elementu prymitywnego α
Wielomian nieredukowalny charakterystyczny: g ( x ) = x 4 + x + 1