Matematyka dla ciekawskich Tw. Pitagorasa cz. 1

Renata Nowak
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH
Twierdzenie Pitagorasa inaczej – cz. 1
Twierdzenie Pitagorasa, potrzebne do rozwiązywania trójkątów, na ogół jest
wprowadzane przez nauczyciela i rzadko bywa na lekcjach dowodzone, a może być ono
odkrywane i dowodzone przez samego ucznia, o ile stanie on przed sytuacją problemową,
która dotknie zagadnień związanych z trójkątem. Uczeń stawiając sobie pytania nie tylko
udowodni twierdzenie Pitagorasa, ale również odkryje ciekawe związki zachodzące w
trójkątach. Twierdzenie Pitagorasa poznane w gimnazjum staje się inspiracją do odkrycia
wielu innych ciekawych twierdzeń. Wystarczy np. interesujący rysunek, by pobudzić do
myślenia i stawiania sobie pytań, na które uczeń poszukuje odpowiedzi. To z kolei stawia go
w sytuacji przedłużenia problemu, co prowadzi do kolejnych odkryć, te z kolei stają się
podłożem dla powstawania nowych pytań.
W poniższym wywodzie przedstawiono dialog ucznia z samym sobą. Sytuacja
problemowa prowadzi do stawiania sobie pytań i odpowiedzi na nie, co nasuwa kolejne
pytania itd. Pokazano jak taki dialog można poprowadzić, by stać się twórcą matematyki, by
odkryć i udowodnić ciekawe zależności. Jest on również dla nauczycieli przykładem sposobu
prowadzenia toku rozumowania uczniów pobudzających ich do twórczego myślenia,
pokazuje jak można sterować procesem nauczania w sposób problemowy, co zachęca
uczniów do własnej działalności i pobudza ich aktywność twórczą wynikającą z naturalnej
ciekawości świata.
Skonstruujmy rysunek
przedstawiony poniżej. Nasuwa
się nam pytanie „Jakie jest pole
zakreskowanego trójkąta i jaki
jest jego związek z polem
kwadratu?”
Obliczamy pole trójkąta
Obliczamy pole kwadratu
Mamy dla trójkąta prostokątnego równoramiennego
o przeciwprostokątnej równej bokowi kwadratu i
przyprostokątnych , z których każda jest równa
połowie przekątnej tego kwadratu związek
,
1
czyli kwadrat długości przeciwprostokątnej jest
równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.
Czy taki wynik jest możliwy
do uzyskania tylko w ramach
wykonanej konstrukcji, czy też
jest to ogólniejsza prawidłowość?
Rozpatrując powyższy związek formułujemy hipotezę
„związek ten jest prawdziwy dla każdego trójkąta
prostokątnego” i dysponujemy wzorem postępowania,
który można spożytkować w ogólnym rozumowaniu.
Spróbujmy przenosić we fragmentach poprzednią ideę
w przypadku, gdy trójkąt jest prostokątny, lecz nie
równoramienny.
Dla każdego trójkąta prostokątnego można wykonać
konstrukcję:
2
Na półprostej zawierającej od jej początku
leżącego w wierzchołku kąta ostrego odkładamy
odcinek ; w jego końcu wystawiamy prostopadle
drugi odcinek tak jak jest pokazane na rysunku.
Rysując przeciwprostokątną otrzymujemy trójkąt
prostokątny przystający do trójkąta wyjściowego.
Podobnie buduje się trójkąt następny. W ostatnim
etapie, który polega na uzupełnieniu figury tak, aby
otrzymać czworokąt, również powstaje trójkąt
przystający do pozostałych. Czworokąt natomiast
okazuje się kwadratem. Przy założeniu, które
przyjęliśmy, opisana konstrukcja jest zawsze
wykonalna. Co więcej można całe postępowanie
rozszerzyć na przypadek szczególny
, który dał
początek rozważaniom.
W rezultacie otrzymujemy:
(
)
czyli
Jak można sformułować
twierdzenie, które odkryliśmy?
Odkryliśmy TWIERDZENIE PITAGORASA
„Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości
przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów
długości przyprostokątnych.”
Z wcześniejszych rozważań wiemy, że dla trójkąta
prostokątnego zachodzi związek:
Rysunek obok ilustruje związek między polem
kwadratu K3 i sumą pól kwadratów K1 i K2 czyli:
Rysunek nasuwa pytanie „Jaki
związek zachodzi między polami
kwadratów?
Czy można by udowodnić
twierdzenia Pitagorasa
korzystając z kwadratów
zbudowanych na odpowiednich
bokach trójkąta?
Można odpowiednio przykładając kwadraty do
boków trójkąta i dzieląc je próbować nałożyć
kwadraty zbudowane na przyprostokątnych na
kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta.
Przykład 1.
3
Przykład 2.
Czy to jest już dowód?
Ale czy samo stwierdzenie
nakładania się wystarczy?
I i II są to części kwadratu zbudowanego na
przyprostokątnej o boku , a i są to części
kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej o boku
Nasuwa się nam stwierdzenie, że nałożenie się
odpowiednich kwadratów jest już dowodem, gdyż
rozpatrywaliśmy dowolny trójkąt prostokątny, a nie
jakiś szczególny, specjalnie wybrany.
Ufając obserwacji rysunku narażamy się na błąd
wynikający z niedokładności. Jako przykład takiego błędu
może posłużyć zadanie:
4
Dany jest kwadrat o boku
Czy można tak podzielić ten kwadrat, aby z jego
fragmentów utworzyć trójkąt równoramienny?
Rozwiązanie:
Patrząc na rysunek przypuszczamy, że zbudowaliśmy trójkąt równoramienny, ale
sprawdźmy dla pewności równość pól obu figur.
Te figury mają różne pola, zatem możemy wnioskować, że otrzymana figura przez
złożenie fragmentów kwadratu nie jest trójkątem, co sugerował rysunek.
5
W jaki sposób można
wykazać, że kwadraty
i
rozcięte odpowiednio i nałożone
wypełniają wszystkie luki
kwadratu
i nie „nachodzą” na
siebie?
Musimy wykazać przystawanie odpowiednich
figur.
Zajmijmy się przykładem 1.
Bierzemy dowolny trójkąt prostokątny o kącie
Przypuszczamy, że:
( )
( )
( )
Jeżeli wykażemy, że zachodzą powyższe warunki,
udowodnimy tym samym twierdzenie, gdyż
rozpatrujemy dowolny trójkąt prostokątny
i
Równość tę otrzymujemy przez
nałożenie się odpowiednich kwadratów, a pewność
tego, iż takie nakładanie zachodzi uzyskujemy
wykazując przystawanie odpowiednich figur.
Wykażemy teraz ( ) czyli
Łatwo można dostrzec, że
| | |
Z( )
zatem
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
( ), bo:
|
|
więc:
W podobny sposób wykażemy przystawanie
pozostałych dwóch trójkątów.
Zatem nasze przypuszczenie okazało się słuszne.
Odpowiednie trójkąty rozciętych kwadratów dla
dowolnego trójkąta prostokątnego są przystające,
wobec tego udowodniliśmy twierdzenie.
6
Do tej pory rozpatrywaliśmy
trójkąt prostokątny i kwadraty
zbudowane na jego bokach. Co
będzie, gdy na bokach zbudujemy
inne figury np. trójkąty
równoboczne, trójkąty
prostokątne, półkola?
Rys. 1
Rys. 2
Rys. 3
Nasuwa się przypuszczenie, że:
Czy te figury są przypadkowe?
Czy dowolne np. trójkąty
możemy budować na bokach
danego trójkąta prostokątnego.
Dla figur podobnych
określamy skalę podobieństwa.
Jaka ona będzie w przypadku
rozpatrywanych przez nas figur?
W przypadku trójkątów na rys. 1 i rys. 2
nakładając odpowiednie figury możemy łatwo
wykazać, że równość ta jest prawdziwa.
Figury te muszą mieć ten sam kształt, lecz
niekoniecznie te same wymiary, czyli są figurami
podobnymi.
Wiemy o tym, że skalę podobieństwa określa
stosunek długości odpowiednich fragmentów figur
podobnych (w przypadku wielokątów –
odpowiednich boków). Wobec tego figura:
),
jest podobna do
w stosunku . (
jest podobna do
Jaki wniosek możemy
wyciągnąć z tych rozważań?
w stosunku . (
),
).
jest podobna do
w stosunku . (
Jeżeli dany mamy trójkąt prostokątny o
przyprostokątnych
, i przeciwprostokątnej i
figury podobne
o skali podobieństwa
7
(
)
(
)
(
),
to spełniony jest następujący warunek:
Zobrazować to możemy w następujący sposób:
Jak to udowodnić?
Skorzystamy z twierdzenia „Stosunek pól dwóch
figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa tych figur”
Więc:
( )
(
)
( )
Z (1) i (2)
,
czyli
jest to UOGÓLNIONE
PITAGORASA
TWIERDZENIE
8
A może w trójkącie, na bokach
którego zbudowaliśmy kwadraty
poprowadzimy kilka odcinków.
Czy otrzymany rysunek coś nam
zasugeruje
Można przypuszczać, że
i
Ale jak to wykazać? Czy
istnieje jakiś związek między
trójkątem
a pozostałymi
figurami przedstawionymi na
rysunku?
|
|
| |
| |
|
|
}
|
Zatem
Co sugeruje przypuszczenie?
|
|
|
| |
|
|
( )
Przypuszczenie sugeruje, że
9
Czy można wykazać tę
równość?
W analogiczny sposób można wykazać, że:
zatem na podstawie tej równości i (*)
Z czego korzystaliśmy
udowadniając tę równość?
Skąd mamy pewność, że
trójkąty AKN i ACM mają równe
podstawy i wysokości?
Przy udowadnianiu tej równości korzystaliśmy z
tego, że rozpatrywane pary trójkątów ADC i ACM
oraz AKN i ACM miały równe podstawy i równe
wysokości. Posługiwaliśmy się poza tym wzorem
wyrażającym pole trójkąta i pojęciem równości pól.
Wiemy, że
| | | |,
gdzie:
MC i AK – podstawy.
Ponieważ:
| | | |
|
| | | | |
(
)
czyli
zatem:
| | | |
| | | |
}
| | | |
Wiemy też, że wysokości trójkątów AKN i ACM są
równe, bo
. Odległość prostych CM i AK jest
wysokością dla każdego z trójkątów AKN i ACM.
10
Równoległość tych prostych można wykazać w
następujący sposób:
czyli
Kąty te są naprzemianległe przy prostych CM i AK
przeciętych prostą AC, zatem
Czy powyższe rozważania
pomogą w udowodnieniu
twierdzenia Pitagorasa?
Udowodniliśmy, że
w analogiczny sposób wykazujemy, że
zatem
czyli
| |
| |
| |
Udowodniliśmy więc twierdzenie Pitagorasa.
Z czego korzystaliśmy
udowadniając równość i
równoległość odcinków MC i
AK?
Przy udowadnianiu tej równości i równoległości
posługujemy się pojęciem równości odcinków oraz
pojęciem równości kątów i opieramy się na
własnościach odcinków lub kątów równych, między
innymi o przystawaniu trójkątów. Korzystaliśmy też z
założenia, że trójkąt ABC jest prostokątny oraz że
czworokąty zbudowane na jego bokach są
kwadratami.
Z czego korzystaliśmy w
pozostałej części twierdzenia
Pitagorasa?
W pozostałej części dowodu korzystaliśmy z
pojęcia równości pól oraz opieraliśmy się na
twierdzeniach dotyczących porównywania pól
trójkątów i równoległoboków.
Czy korzystaliśmy z założenia,
że trójkąt ABC jest prostokątny?
Z tego założenia nie korzystaliśmy, ani z tego, że
czworokąty ACDE, BCFG, ABHK są kwadratami,
wystarczy wiedzieć, że są to równoległoboki.
Czy można to rozumowanie
zastosować do figur
ogólniejszych?
Można by wziąć dowolny trójkąt i zbudować na
jego bokach równoległoboki. Pokazane jest to na
rysunku.
11
Czy równoległoboki te mogą
być dowolne?
Jak można by sformułować
twierdzenie, które odkryliśmy?
Jak będzie wyglądał dowód
tego twierdzenia?
Czy można otrzymać
twierdzenia Pitagorasa z
powyższego twierdzenia?
Równoległoboki ACDE i BCFG mogą być dowolne,
natomiast na boku AB budujemy równoległobok w
ten sposób, że bok
(M – punkt przecięcia
prostych ED i GF) i | | | |.
„Jeżeli na bokach trójkąta ABC zbudujemy
dowolne równoległoboki ACDE i BCFG, a na boku AB
trzeci równoległobok ABHK w ten sposób, że bok AK
jest równoległy do MC i równy odcinkowi MC, to
suma pól dwóch pierwszych równoległoboków jest
równa polu trzeciego równoległoboku”.
Dowód tego twierdzenia będzie analogiczny do
dowodu twierdzenia Pitagorasa przedstawionego
wcześniej.
W twierdzeniu powyższym mowa jest o dowolnym
trójkącie i równoległobokach takich, że zachodzi
równość
Gdy rozpatrzymy trójkąt prostokątny i
równoległoboki, które będą kwadratami, zachodzić
będzie wówczas równość
.
Skąd wiadomo, że figura
ABHK jest kwadratem?
Wiemy z wcześniejszych rozważań, że dla
kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych
trójkąta prostokątnego zachodzi warunek:
zatem
| | | |
| | | |
}
| | | |
Figura zbudowana na przyprostokątnej ma równe
12
boki. Musimy jeszcze wykazać, że
( )
( )
( ) kąty wierzchołkowe są równe.
Z( ) ( )
} ( )
Z informacji, że trójkąt ABC jest prostokątny i z
warunku ( ) wynika, że trójkąt CBN jest również
prostokątny.
Zatem
z założenia
Więc
Udowodniliśmy więc, że czworokąt ABHK jest
kwadratem.
Prawdziwy jest zatem warunek
| |
| |
| |
Udowodniliśmy więc, że z powyżej odkrytego
twierdzenia można otrzymać twierdzenie Pitagorasa.
13