Z czego należy się przygotowywać do 2. kolokwium z Analizy

Z czego należy się przygotowywać
do 2. kolokwium z Analizy matematycznej 2.2A
Numery poniżej to numery zadań z list, które przerabialiśmy na
ćwiczeniach.
Zastosowania pochodnych cząstkowych:
41–43.
Całki wielokrotne:
46–49, 51, 53–59, 61, 63, 65–68, 70.
Transformata Laplace’a:
72–73.
UWAGA!
W każdej grupie na kolokwium będą 4 zadania: jedno z pochodnych (czyli z szukania ekstremów/najmniejszych/największych wartości funkcji dwóch
zmiennych), jedno z transformaty Laplace’a i dwa z całek wielokrotnych.
Wśród zadań z całek tylko w jednym trzeba będzie do końca obliczać całkę
(tu wchodzą w grę też wszystkie zadania z zastosowań całek podwójnych i
potrójnych), w drugim trzeba będzie zapisać całkę przy pomocy całek iterowanych, zamienić kolejność całkowania lub zapisać całkę przy pomocy zmiennych biegunowych/walcowych/sferycznych, bez liczenia całki. Te współrzędne mogą się też pojawić w zadaniu z liczeniem całki (jeśli nie będzie ich w
tym drugim). Z transformaty Laplace’a będzie na pewno (w każdej grupie)
zadanie z metody operatorowej. Należy się jednak przygotować też z zadania
72., bo częścią metody operatorowej jest znalezienie funkcji, która ma zadaną
transformatę Laplace’a.
Wszystkie zadania w każdej grupie będą na poziomie średnio trudnych
zadań z listy, co może się wiązać (w przypadku niektórych grup zadań) ze
sporą ilością obliczeń. Nie będzie natomiast żadnych kruczków, wyłącznie
zadania na znajomość rzemiosła.
Jak poprzednio, nie można korzystać z kalkulatorów ani pomocy naukowych (nie mówiąc o kolegach) z jednym wyjątkiem. Można na kolokwium
mieć kartkę A4 z wzorami, w szczególności wzorami na transformaty Laplace’a podstawowych funkcji (będą na pewno potrzebne).
Miłej nauki!
UWAGA!
Na drugiej stronie znajdują się uwagi do tych kilku zadań, do których przykładów nie przerabialiśmy na ćwiczeniach.
Każde z zadań 57–59, 67–68, 70 sprowadza się do obliczenia pewnej całki
(lub kilku całek):
• Masa obszaru D ⊂ R2 (zadanie 57.) to
m=
ZZ
σ(x, y) dx dy,
D
a w przypadku obszaru U ⊂ R3 (zadanie 68.),
m=
ZZZ
σ(x, y, z) dx dy dz.
U
• Współrzędne środka masy obszaru D (zadanie 58.) to:
RR
RR
xσ(x, y) dx dy
D
x0 = RR
σ(x, y) dx dy
,
yσ(x, y) dx dy
D
y0 = RR
D
σ(x, y) dx dy
.
D
• Momenty bezwładności obszaru D ⊂ R2 (zadanie 59.): względem osi
to:
ZZ
względem osi Ox: Ix =
y 2 σ(x, y) dx dy,
D
względem osi Oy: Iy =
ZZ
x2 σ(x, y) dx dy.
D
3
W przypadku obszaru U ⊂ R (zadanie 70.), momenty jego bezwładności względem poszczególnych osi liczy się ze wzorów:
względem osi Ox: Ix =
ZZZ
(y 2 + z 2 )σ(x, y, z) dx dy dz,
U
względem osi Oy: Iy =
ZZZ
(x2 + z 2 )σ(x, y, z) dx dy dz,
U
względem osi Oz: Iz =
ZZZ
U
(x2 + y 2 )σ(x, y, z) dx dy dz.