Algebra M3. Lista nr 5. Zadanie 62. Pokazać, że jeśli φ : R → S jest

Algebra M3. Lista nr 5.
Zadanie 62. Pokazać, że jeśli φ : R → S jest homomorfizmem pierścieni, to Φ : R[x] → S[x]
dane wzorem
!
n
n
X
X
k
Φ
=
ak X
φ(ak )X k ,
k=1
k=1
jest tez homomorfizmem (pierścieni).
Jeśli ĝ oznacza funkcję wielomianową wielomianu g, to z równości fˆ(x0 ) = 0 dla x0 ∈ R
[)(φ(x0 )) = 0.
wynika równość Φ(f
Zadanie 63. Pokazać, że jeśli p jest wielomianem o najwyższym współczynniku nie będącym
dzielnikiem zera, to dla dowolnego wielomianu w istnieje co najwyżej jedna para wielomianów
q, r taka, że w = pq + r i st(r) < st(p).
Zadanie 64. Wskazać wielomiany f, g ∈ Z6 [X] takie, że iloraz i reszta z dzielenia g przez
f nie są wyznaczone jednoznacznie.
Zadanie 65. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu w(X) = 5X 3 +2X 2 −X −7 ∈
Z8 [X] przez wielomian g(X) = X 2 + 3X − 1.
Zadanie 66. Wielomian w(X) o współczynnikach rzeczywistych daje przy dzieleniu przez
X − 2 resztę 1, a przy dzieleniu przez X − 1 daje resztę 2. Jaka jest reszta z dzielenia w(X)
przez (X − 1)(X − 2)?
Zadanie 67. Wielomian w(X) ∈ Z5 [X] daje przy dzieleniu przez X + 1 resztę 2, przy
dzieleniu przez X + 2 daje resztę 3, zaś przy dzieleniu przez X + 3 daje resztę 1. Jaka jest
reszta z dzielenia w(X) przez (X + 1)(X + 2)(X + 3)?
Zadanie 68. Niech w(X) = X 2 + X + 1 ∈ Z 3 [X], (Z 3 = Z ⊕ Z ⊕ Z). Obliczyć wartość
funkcji wielomianowej w(x) dla x = (1, 0, 2) ∈ Z 3 .
Zadanie 69. Pokazać, że każda funkcja f : Z3 → Z3 jest funkcją wielomianową, tzn. istnieje
w(X) ∈ Z3 [X] taki, że f (x) = w(x). Uogólnić ten wynik na dowolne ciało skończone.
Zadanie 70. Czy każda funkcja f : Z4 → Z4 jest funkcją wielomianową?
Zadanie 71. Pokazać, że w pierścieniu P funkcji rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem
funkcji zbiór funkcji zerujących sie na ustalonym podzbiorze X jest ideałem.
Czy każdy ideał w tym pierścieniu jest takiej postaci?
Zadanie 72. Pokazać, że jeśli R jest pierścieniem z jednościa to ideał I ⊂ R jest właściwy
(tzn. 6= R) ⇔ jedność nie należy do tego ideału.
Zadanie 73. Pokazać, że odwzorowanie
f : R[X] → C (tutaj R oznacza liczby rzeczy√
wiste) dane wzorem f (w) = w( 2) jest homomorfizmem pierścieni i jego jądro jest ideałem
głównym. Znaleźć generator jądra. Jaka jest odpowiedź w przypadku f : Q[X] → C?
Zadanie 74. Niech X będzie dowolnym (niepustym) zbiorem, zaś R = 2X pierścieniem
jego wszystkich podzbiorów (z różnicą symetryczną i przekrojem). Pokazać, że każda rodzina
A ⊂ R spełniająca warunki:
a) ∀A ∈ A ∀B ∈ R jeśli B ⊂ A, to B ∈ A;
b) ∀A ∈ A ∀B ∈ A A ∪ B ∈ A
jest ideałem w tym pierścieniu. Czy każdy ideał w R ma te własności?
Zadanie 75. Niech I, J będą ideałami pierścienia przemiennego R.
a) Pokazać, że I + J jest również ideałem.
b) Jak wygląda najmniejszy ideał hIJi generowany przez IJ?
c) Pokazać, że hIJi ⊂ I ∩ J ⊂ I ⊂ I + J Pokazać, że w każdej z powyższych inkluzji nie
musi zachodzić równość.
Zadanie 76. Pokazać, że pierścienie Z[X]/ hX − 1i i Z[X]/ h2X − 1i nie są izomorficzne.