Algebra M3. Lista nr 1. Zadanie 1 W zbiorze Z n = {0,1, ..., n − 1} dla

Algebra M3. Lista nr 1.
Zadanie 1 W zbiorze Zn = {0, 1, ..., n − 1} dla a, b ∈ Zn określamy a ⊕n b jako resztę z
dzielenia liczby a + b przez n. Działanie to nazywać będziemy dodawaniem modulo n.
1. Ułożyć tabliczkę dodawania modulo 4;
2. Pokazać, że ∀a, b, c ∈ Zn a ⊕n (b ⊕n c) = (a ⊕n b) ⊕n c; łączność
3. Pokazać, że ∀a, b ∈ Zn a ⊕n b = b ⊕n a; przemienność
4. Pokazać, że ∀a ∈ Zn ∃b ∈ Zn a ⊕n b = 0.
Zadanie 2 W zbiorze Zn = {0, 1, ..., n − 1} dla a, b ∈ Zn określamy a n b jako resztę z
dzielenia liczby a · b przez n. Działanie to nazywać będziemy mnożeniem modulo n.
1. Ułożyć tabliczkę mnożenia modulo 5;
2. Pokazać, że ∀a, b, c ∈ Zn a n (b n c) = (a n b) n c; łączność
3. Pokazać, że ∀a, b ∈ Zn a n b = b n a; przemienność
4. Znaleźć takie n oraz a, b ∈ Zn , że a, b 6= 0 ale a n b = 0. Czy jest to możliwe dla
każdego n?
Zadanie 3 Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Dla f, g ∈ X X określamy działanie f ◦ g jako złożenie odwzorowań f oraz g. Pokazać, że działanie to jest łączne, tzn.
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), ale zazwyczaj (kiedy?) nie jest przemienne.
Zadanie 4 Rozważmy zbiór S wszystkich izometrii (własnych) danego trójkąta równobocznego
ABC.
1. Zauważyć, że S jest zbiorem sześcioelementowym;
2. Pokazać, że złożenie dwóch izometrii jest zawsze izometrią, a zatem składanie odwzorowań jest działaniem w S;
3. Ułożyć tabliczkę tego działania. Czy jest ono przemienne? Czy jest ono łączne?
4. Pokazać, że istnieje dokładnie jeden element e ∈ S taki, że dla a ∈ S mamy a · e =
e · a = a;
5. Pokazać, że dla każdego a ∈ S istnieje b ∈ S taki, że a · b = b · a = e.
Zadanie 5 Rozważmy zbiór T wszystkich izometrii (własnych) kwadratu z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Napisać tabliczkę tego działania.
Zadanie 6 Czy zbiór G = (2, ∞) z działaniem ∗ danym wzorem
a ∗ b = ab − 2a − 2b + 6
gdzie a, b ∈ G, jest grupą? Dlaczego?
Zadanie 7 Pokazać, że jeśli dzialanie · na zbiorze G spełnia warunki
1. ∀a, b, c ∈ G a(bc) = (ab)c; łączność
2. ∃e ∈ G ∀a ∈ G ea = a; istnienie lewego elementu neutralnego
3. ∀a ∈ G ∃b ∈ G ba = e; istnienie lewego elementu odwrotnego,
to (G, ·) jest grupą.
Wsk. aa−1 = (a−1 )−1 a−1 aa−1 .
Zadanie 8 Niech G będzie grupą. Pokazać, że
1. każdy element a ∈ G posiada jedyny element odwrotny;
2. ∀a, b ∈ G (ab)−1 = b−1 a−1 ;
3. ∀a, b, c ∈ G jeśli ab = ac, to b = c (prawo skreśleń).
Zadanie 9 Napisać tabliczkę działania dla grupy S3 .
Zadanie 10 Pokazać, że jeśli p nie jest liczbą pierwszą, to Zp − {0} z mnożeniem modulo p
nie jest grupą.
Zadanie 11 Pokazać, że Sn jest abelowa ⇔ n ≤ 2.
Zadanie 12 Pokazać, że permutacją odwrotną do σ =
!
τ=
a1 a2 ... an
. Znaleźć
1 2 ... n
12345
21453
1 2 ... n
a1 a2 ... an
!
jest permutacja
!−1
.
Zadanie 13 Pokazać,że jeśli α, β ∈ Sn są rozłącznymi cyklami, to αβ = βα.
Zadanie 14 Pokazać,że σ jest cyklem m-wyrazowym na m-elementowym zbiorze X
∀x, y ∈ X ∃k ∈ Z x = σ k (y)
!
Zadanie 15 Dane permutacje rozłożyć na iloczyn cykli:
Drugą z permutacji rozłożyć na iloczyn transpozycji.
1234567
,
6514237
⇔
!
12345
,
21453