rok szkolny 2009/2010 - Wespół w zespół z Matematyką bez Granic

Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ZESTAW ZADAŃ „ROZWIĄŻMY RAZEM”
Zadanie 1
Exercise 1 - “THE CATHETI AND THE HYPOTENUSE...” (3 points)
Prove that in the right-angled triangle the length of each leg is the geometric mean
of its perpendicular bisector and the length of the hypotenuse.
Aufgabe 1 - ”KATHETEN - UND HYPOTENUSEN…” (3 punkte)
Beweise, dass in einem rechteckigen Dreieck die Länge jeder Kathete ein
geometrischer Mittelwert der Länge ihrer senkrechten Projektion auf die
Hypotenuse und auf die Länge der Hypotenuse ist.
Devoir nr 1 - «CATHETE ET HYPOTENUSE… », (3 points)
Démontre que dans le triangle rectangle chaque cathète est moyenne géométrique
entre son projeté orthagonal sur l’hypoténuse et l’hypoténuse entière.
Compito 1 – “CATEI ED IPOTENUSE...” (3 punti)
Prova che nel triangolo rettangolo la lunghezza di ogni cateo è una media
geometrica della lunghezza della sua proiezione ortogonale sull’ipotenusa e della
lunghezza dell’ipotenusa.
Problema 1 - ”CATETOS E HIPOTENUSAS…” (3 puntos)
Demuestra que en el triángulo rectángulo la longitud de cada cateto es la media
geométrica de la longitud de su proyección sobre la hipotenusa y la longitud de la
hipotenusa.
Zadanie 2 - ”KWADRATURA?” (5 punktów)
Zbuduj kwadrat, którego pole jest równe polu danego:
a)
trójkąta
b)
pięciokąta
Rysunek Trójkąt do kwadratury
Rysunek Pięciokąt do kwadratury
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 1
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 3 - ”WYKAPANY… TRÓJKĄT” (2 punkty)
Zbuduj trójkąt o danym obwodzie s podobny do danego
trójkąta.
Zadanie 4 - ”WYKAPANY… PROSTOKĄT” (3 punkty)
Zbuduj prostokąt podobny do danego prostokąta,
którego jednym z boków jest dany odcinek x.
Zadanie 5 - ”NARZĘDZIE I …” (3 punkty)
W trapezie poprowadzono przekątne dzieląc go na 4
trójkąty. Wykaż, że:
Pole ∆ABD = Pole ∆ABC
Pole ∆ASD = Pole ∆BSC
∆ABS ~ ∆DCS
Zadanie 6 - ”…JEGO ZASTOSOWANIE” (5 punktów)
Dany jest trapez ABCD. Pole ∆CDS jest równe 2, a pole ∆ABS jest równe 8. Jaką częścią pola
trapezu są pola trójkątów ABS, CDS, ASD, CSB?
Zadanie 7 - ”MAŁA ANALOGIA?” (3 punkty)
Punkt M jest środkiem boku CD równoległoboku
ABCD. Jaką część pola równoległoboku stanowi
pole ∆ABN?
8 – treść zadania
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 2
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 8 - ”BAŁWANEK W PIRAMIDZIE” (6 punktów)
Na dwóch kulach stycznych zewnętrznie opisano ostrosłup
prawidłowy, czworokątny o krawędzi podstawy długości
10 i wysokości 12. Jakie są promienie tych kul?
9 – treść zadania
Zadanie 9 – „BILARD” (5 punktów)
Na rysunku pokazano jak kula bilardowa odbija się od bandy. Stół
jest prostokątem o wymiarach 1,4m 2,8m . W jego środku
umieszczamy kulę.
Kula powinna zostać tak uderzona, aby odbiła się po kolei od
trzech band i wpadła do jednego z czterech otworów, które
znajdują się w rogach stołu.
Narysuj na arkuszu rozwiązań stół bilardowy w skali 1:40.
Skonstruuj drogę kuli pozostawiając wszystkie linie pomocnicze!
10 – treść zadania
Zadanie 10 – „PROBLEM NAKRĘTKI” ”(5 punktów)
Większość nakrętek do butelek ma kształt stożka
ściętego.
W nakrętce przedstawionej na rysunku mniejsza
średnica wynosi 3cm. Bok nakrętki ma długość
1cm, Jeśli potoczymy nakrętkę po stole, to zakreśli
ona pierścień kołowy, którego wewnętrzny promień
wynosi 30cm. Oblicz większą średnicę nakrętki.
11 – treść zadania
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 3
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 11 – „TRZECIA CZĘŚĆ” (5 punktów)
Oto metoda, która pozwala znaleźć
1
długości przekątnej prostokątnej kartki papieru tylko
3
przez jej zginanie.
Zaginaj kolejno kartkę (wg oznaczeń na rysunku)
wzdłuż przekątnej (1),
wzdłuż osi symetrii (2),
wzdłuż linii (3),
wzdłuż linii (4)
1
Linia czwartego zagięcia daje długości.
3
Uzasadnij poprawność tej metody.
12 – treść zadania
Zadanie 12 – „MARZYCIELSTWO” (5 punktów)
Powoli kończy się lekcja. Zuzia patrzy przez okno i dokładnie przez dwie sekundy widzi
swego kolegę Prospera przejeżdżającego na motorze. Zuzia siedzi w odległości 1m od okna
o szerokości 1m. Ulica przebiega równolegle do fasady szkoły, w odległości 25m od niej.
Zuzia zastanawia się: Czy Prosper przekroczył dopuszczalną na tej ulicy prędkość 50km/h?
Odpowiedz na pytanie Zuzi. Uzasadnij swoją odpowiedź odpowiednimi obliczeniami.
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 4
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
ROZWIĄZANIA ORAZ SCHEMAT PUNKTACJI
ZESTAWU „Rozwiążmy razem”
Zadanie 1 - ”Przy- i przeciwprostokątne…” (3 punkty )
Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym długość każdej przyprostokątnej jest średnią
geometryczną długości swojego rzutu prostopadłego na przeciwprostokątną i długości
przeciwprostokątnej.
Dane: ∆ABC prostokątny;  ACB
wykazać, że: AC
900 . Mamy
AD AB oraz BC
BD AB
Z podobieństwa trójkątów: ∆ADC ~ ∆ABC (kk)
otrzymujemy:
AD
AC
2
AC
AD AB
AC
AD AB
AC
AB
Analogicznie, z podobieństwa trójkątów: ∆BDC i ∆ABC (kk) otrzymujemy:
BC
BD AB .
CZYNNOŚĆ
1
2
3
ETAPY ROZWIĄZANIA
Stwierdzenie podobieństwa trójkątów z uzasadnieniem
Zapisanie proporcji
Sformułowanie wniosku (przekształcenie proporcji)
PUNKTY
1
1
1
Exercise 1 – “THE CATHETI AND THE HYPOTENUSE...” (3 points)
Date: ∆ABC;  ACB
Indicate that: AC
900
AD AB and BC
BD AB
Proof: The similarity of triangles: ∆ADC ~ ∆ABC (kk) is:
AD
AC
2
AC
AD AB .
AC
AD AB
AC
AB
By analogy with the similarity of triangles: ∆BDC and ∆ABC (kk) we
have: BC
BD AB
Aufgabe 1 – „KATHETEN UND HYPOTENUSEN“ (3 Punkte)
Angaben: ∆ABC rechteckig,  ACB
Beweise, dass: AC
900
AD AB und BC
BD AB
Beweis: Aus Ähnlichkeit von Dreiecken: ∆ADC ~ ∆ABC (kk) bekommen wir:
AD
AC
2
AC
AD AB .
AC
AD AB
AC
AB
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 5
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Analog aus Ähnlichkeit von Dreiecken: ∆BDC i ∆ABC (kk) bekommen wir, dass:
BC
BD AB
Devoir nr 1 – « CATHETE ET HYPOTENUSE... », (3 points)
Données: ∆ABC rectangle;  ACB
Démontre que AC
900
AD AB et BC
BD AB
 Démonstration: de la similitude des triangles ∆ADC ~ ∆ABC (kk) on obtient :
AD
AC
2
AC
AD AB .
AC
AD AB
AC
AB
Réciproquement de la similitude des triangles ∆BDC i ∆ABC (kk) on obtient que:
BC
BD AB
Esercizio 1 – “CATETI ED IPOTENUSE...” (3 punti)
Dati: ∆ABC rettangolo  ACB
Dimostra che: AC
900
AD AB nonché BC
BD AB
Dimostrazione: Dalla similitudine dei triangoli: ∆ADC ~ ∆ABC (kk) riceviamo:
AD
AC
2
AC
AD AB analogicamente dalla similitudine
AC
AD AB
AC
AB
BD AB 
dei triangoli: ∆BDC e ∆ABC (kk) otterremo, che: BC
Tarea 1 – “LOS CATETOS Y LAS HIPOTENUSAS” (3 puntos)
DATOS: ∆ABC rectángulo;  ACB
Demuestra que: AC
900
AD AB y BC
BD AB
Comprobación: De la semejanza de triángulos: ∆ADC ~ ∆ABC (kk) sacamos:
AD
AC
2
AC
AD AB analógicamente, de la semejanza
AC
AD AB
AC
AB
de triángulos: ∆BDC i ∆ABC (kk) sacamos, que: BC
BD AB 
Zadanie 2 - ”KWADRATURA?” (5 punktów)
2a) – propozycja rozwiązania
Oznaczenia: x - bok szukanego kwadratu, wtedy x2 to
jego pole.
ch
2ch
ch
ch
zatem x 2
, stąd x
2
2
2
2
Konstrukcja: Rysuję półokrąg o średnicy długości:
2c h . Odcinek y jest prostopadły do średnicy i
wystawiony w punkcie wspólnym odcinków
2ch zatem y 2 x .
2ch , czyli y
P
2c oraz h . Mamy więc: y 2
ABC
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 6
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Szukany kwadrat, to kwadrat o boku x gdzie
1
x
y
2
CZYNNOŚĆ
1
2
ETAPY ROZWIĄZANIA
Zapisanie związku między polami trójkąta i kwadratu
Wyznaczenie y i zbudowanie kwadratu o boku y/2
PUNKTY
1
1
2b) – propozycja rozwiązania
Dany pięciokąt ABCDE dzielimy na trójkąty:ABC; ACD i
ADE. Niech pole pięciokąta wynosi P. Wtedy
P = PABC + PACD + PADE
1
Stąd P
xh1 xh2 yh3 ab ac ad a b c d .
2
Pole pięciokąta jest równe polu prostokąta o bokach długości: a
oraz b c d . Obieramy dowolny odcinek a oraz
wyznaczamy odcinki: b , c , d , spełniające warunki:
1
1
1
xh1 ab , xh2 ac , yh3 ad .
2
2
2
Konstrukcję odcinka b , na podstawie zależności
b
1
xh1
2
ab
0,5 x h1
, ilustruje rysunek:
a
Postępując analogicznie konstruujemy c , d
0,5 x h2
1
z równości xh2 ac wyznaczam c
a
2
0,5 y h3
1
z równości yh3 ad wyznaczam d
a
2
Pole danego pięciokąta jest równe polu prostokąta o jednym boku a i drugim równym sumie
b c d , zatem pole szukanego kwadratu jest równe a b c d . Niech bok szukanego
kwadratu wynosi z, wtedy P□ = z2 i P□ = a b c d stąd z 2 a b c d .
Konstruujemy odcinek z spełniający ten warunek - konstrukcja analogiczna jak w 1a)
Następnie budujemy kwadrat o boku długości z.
CZYNNOŚĆ
1
2
3
ETAPY ROZWIĄZANIA
Zapisanie związku m. polami pięciokąta i kwadratu
Zamiana pola pięciokąta na pole prostokąta
Konstrukcja zmieniająca pole prostokąta w pole kwadratu
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
PUNKTY
1
1
1
Strona 7
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 3 - ”WYKAPANY…TRÓJKĄT” (2 punkty)
Dane: ABC. Odcinek s .
Dany odcinek s = DE dzielimy proporcjonalnie do
boków trójkąta ABC. Następnie konstruujemy
trójkąt, którego bokami są otrzymane odcinki:
x, y, z .
ETAPY ROZWIĄZANIA
Zastosowanie twierdzenia Talesa
do podziału odcinka s
Zbudowanie trójkąta o uzyskanych
bokach
LP.
1
2
PUNKTY
1
1
4 – rozwiązanie zadania
Zadanie 4 - ”WYKAPANY…PROSTOKĄT” (3 punkty)
Dane: Prostokąt o bokach długości a i b oraz odcinek x .
Należy zbudować prostokąt, podobny do danego prostokąta, którego jednym z boków jest
dany x . Szkic konstrukcji jest przedstawiony na rysunku
Lp.
1
Czynności
Skonstruowanie prostokąta
spełniającego warunki zadania
Punkty
3
5 – rozwiązanie zadania
Zadanie 5 - ”NARZĘDZIE I …” (3 punkty)
Dane: Trapez ABCD, w którym: AB
wynosi h oraz AC
BD
a ; DC
b ; wysokość
S
1
ah = PABC
2
b)  PASD = PABD - PABS = PABC - PABS = PBSC
c)  ∆ABS ~ ∆CDS (kk) 
a)  PABD =
CZYNNOŚĆ
1
2
3
ETAPY ROZWIĄZANIA CZYNNOŚCI
Wykazanie równości pól a)
Wykazanie równości pól b)
Uzasadnienie podobieństwa trójkątów
PUNKTY
1
1
1
wiązanie zadani
Zadanie 6 - ”…JEGO ZASTOSOWANIE” (5 punktów)
Dane: Trapez ABCD, w którym: AB
AC
BD
a ; DC
b ; wysokość wynosi h oraz
S , PCDS = 2 = P1 oraz PABS = 8 = P2.
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 8
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mamy ∆ABS ~ ∆CDS (kk) w skali s. Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadrat skali
P2 8
4 , więc s 2
podobieństwa, zatem s 2
P1 2
1 2
ah
1
PABS
a h
8 , więc ah 24 ,
PASD PBSC
ah 8 12 8 4 ,
2 3
3
2
PABCD 8 4 4 2 18 .
Zatem:
Pole ∆ABS to:
Pole ∆ASD=∆BSC to:
Pole ∆ASD=∆BSC to:
8 4
4 2
4 2
pola trapezu
pola trapezu
pola trapezu
18 9
18 9
18 9
CZYNNOŚĆ
1
2
3
4
Etapy rozwiązania
Stwierdzenie podobieństw trójkątów i uzasadnienie go
Wskazanie skali podobieństwa
Wyznaczenie pól trójkątów składowych
Obliczenie pola trapezu
Punkty
1
1
2
1
– rozwiązanie zadania
Zadanie 7 - ”MAŁA ANALOGIA?” (3 punkty)
Dane: Równoległobok ABCD, w którym: AB
a;
wysokość jest równa h, punkt M jest środkiem odcinka CD
oraz AM BD N
Jaką część pola równoległoboku stanowi pole ∆ABN?
Z podobieństwa ∆ABN ~ ∆MDN (kk) wynika, że s
PABN
1 2
a h
2 3
CZYNNOŚĆ
1
2
3
1
ah
3
AB
DM
2 . PABCD
ah oraz
1
1
PABCD . Pole trójkąta ABN stanowi pola równoległoboku.
3
3
ETAPY ROZWIĄZANIA
Stwierdzenie podobieństw trójkątów i uzasadnienie go
Wyznaczenie pola trójkąta
Sformułowanie odpowiedzi
PUNKTY
1
1
1
Zadanie 8 - ”BAŁWANEK W PIRAMIDZIE” (6 punktów)
Dane: Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Dwie kule styczne zewnętrznie wpisane w ten
czworościan. Wysokość ostrosłupa: BO h 12 ; długość krawędzi podstawy czworościanu
a =10. Mamy obliczyć promienie kul: MN = ? oraz KL = ?
1
a 5 . Zatem z twierdzenia Pitagorasa mamy:
2
2
2
BO . Stąd AB
122 5 2 169 , AB 13
AOB jest prostokątny; OA
AB
2
OA
2
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 9
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Z podobieństwa trójkątów ∆OAB ~ ∆KLB ~ ∆MNB
(kk) otrzymujemy:
OA
KL
1.
, ale BK BO KL 12 KL ,
AB
BK
zatem
2.
CZYNNOŚĆ
1
2
3
4
5
6
KL
12
KL
OA
MN
AB
BM
, stąd KL
, ale BM
10
.
3
BO 2 KL
MN
, stąd MN
20
12
MN
3
10
40
natomiast MN
3
27
zatem
Odpowiedź: Promienie kul wynoszą: KL
5
13
5
13
ETAPY ROZWIĄZANIA
Wykonanie rysunku z zaznaczonym przekrojem i oznaczeniami
Obliczenie potrzebnych odcinków
Uzasadnienie podobieństwa trójkątów
Zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa
Wyznaczenie promienia większej kuli
Powtórzenie rozumowania dla mniejszej kuli
MN ,
40
.
27
PUNKTY
1
1
1
1
1
1
zad
Zadanie 9 – „BILARD” (5 punktów)
Narysunkach zostały pokazane dwa rozwiązania. Pozostałe
rozwiązania są symetryczne.
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 10
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
CZYNNOŚĆ
ETAPY ROZWIĄZANIA
Wykonanie konstrukcji
Staranny rysunek z zachowaną skalą
1
2
PUNKTY
4
1
Zadanie 10 – „PROBLEM NAKRĘTKI” ”(5 punktów)
Dane:
OB
30 cm
AB 1 cm
BC
3 cm
Oblicz: AD
Z danych zadania mamy OA
OA
AD
, więc
31
30
OB
BA
?
31 . Z twierdzenia Talesa:
AD
. Zatem: AD 3,1 cm .
3
OB
BC
Odpowiedź: Większa średnica nakrętki jest równa 3,1 cm 
CZYNNOŚĆ
1
2
3
4
ETAPY ROZWIĄZANIA
Wykonanie rysunku zgodnego z sytuacją w zadaniu i
oznaczeniami
Obliczenie potrzebnych odcinków
Zapisanie proporcji wynikającej z twierdzenia Talesa
Wyznaczenie długości odcinka
PUNKTY
2
1
1
1
Zadanie 11 – „TRZECIA CZĘŚĆ” (5 punktów)
Przyjmując oznaczenia jak na rysunku i stosując
twierdzenie Talesa dla ∆AIM i ∆CIB otrzymujemy:
AI
AM 1
, zatem IC 2 AI oraz AC 3 AI
IC
CB
2
1
1
W ∆AIJ i ∆ACB mamy: AJ
AB oraz AI
AC
3
3
CZYNNOŚĆ
1
2
3
4
ETAPY ROZWIĄZANIA
Wykonanie rysunku zgodnego z sytuacją w zadaniu i
oznaczeniami
Zapisanie proporcji wynikających z twierdzenia Talesa
Obliczenie stosunków potrzebnych odcinków
Wyznaczenie długości odcinka AJ=1/3AB
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
PUNKTY
1
1
1
2
Strona 11
Projekt „Wespół w zespół z Matematyką bez Granic” - rok szkolny 2009/2010
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 12 – „MARZYCIELSTWO” (5 punktów)
Dane: (oznaczenia jak na rysunku) ZH 1 m - odległość Zuzi od okna, HG
odległość jezdni od szkoły, AB
trwania ruchu Prospera.
25 m -
1 m - szerokość okna, t = 2s - czas obserwacji = czas
Rozstrzygnij: Czy Prosper przekroczył dozwoloną prędkość 50
km
?
h
DC to droga, jaką przebył Prosper w ciągu 2s. Zauważmy, że
DC
ZG
AB
ZH
stąd
DC
1 25
, zatem DC 26m . Prosper w ciągu 2s przebył drogę 26m, zatem poruszał się
1
1
DC 26 m
z prędkością v
13 m / s 0,013 3,6 km / h 46,8 km / h
t
2s
Prosper nie przekroczył dozwolonej prędkości 50 km/h, ponieważ poruszał się z prędkością:
46,8 km/h
CZYNNOŚĆ
1
2
3
4
5
ETAPY ROZWIĄZANIA
Wykonanie rysunku zgodnego z sytuacją w zadaniu i oznaczeniami
Zapisanie proporcji wynikających z twierdzenia Talesa
Obliczenie długości potrzebnego odcinka
Zamiana, ujednolicenie mian
Wyznaczenie prędkości
PUNKTY
1
1
1
1
1
Pakiet edukacyjny I „Wokół Twierdzenia Talesa”
Strona 12