Siła harmoniczna i drgania swobodne - Open AGH e

Siła harmoniczna i drgania swobodne
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu
periodycznym można zawsze wyrazić za pomocą funkcji sinus lub cosinus (tzw. funkcji harmonicznych). Ruch drgający jest
powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
DEFINICJA
Definicja 1:
Siłą harmoniczną (sprężystości) nazywamy siłę działającą na ciało proporcjonalną do przesunięcia tego ciała od początku
układu i skierowaną ku początkowi układu.
Dla przesunięcia wzdłuż osi x, siła sprężystości jest dana równaniem
F = −kx
(1)
Rysunek 1: Prosty oscylator harmoniczny
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak, aby masa m znalazła się w chwili t = 0 w położeniu x = A, a następnie zostanie
zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu może być dane równaniem
x(t) = A cos(ωt)
(2)
Funkcja x(t) opisuje zarazem wychylenie ciała z położenia równowagi.
Sprawdźmy teraz czy to równanie dobrze opisuje ruch harmoniczny. Zgodnie z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki
Newtona
ma = −kx
(3)
Żeby obliczyć przyspieszenie a obliczamy (zgodnie z równaniami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ) , Ruch na płaszczyźnie-( 2 ) , Ruch na
płaszczyźnie-( 3 )) odpowiednie pochodne wyrażenia ( 2 )
v(t) =
dx
dt
= −Aω sin ωt
(4)
oraz
a(t) =
dv
dt
=
d2 x
d2 t
= −Aω2 cos ωt
(5)
Teraz wyrażenia ( 2 ) i ( 5 ) podstawiamy do równania opisującego ruch oscylatora ( 3 ) i otrzymujemy
ω2 =
k
m
(6)
Widzimy, że zaproponowane równanie ( 2 ) jest rozwiązaniem równania ruchu oscylatora harmonicznego ( 3 ) przy warunku, że
−−−−
ω = √k/m.
Zwróćmy uwagę, że funkcja x(t) = A sin ωt jest również rozwiązaniem równania ale przy innych warunku początkowym bo gdy t
= 0 to położenie masy x = 0, a nie jak przyjęliśmy x = A.
Ogólne rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego ( 3 ) ma postać
x(t) = A sin(ωt + φ)
(7)
Stała A (opisująca maksymalne wychylenie) jest amplitudą ruchu, wyrażenie ωt + φ nazywamy fazą drgań, a φ fazą początkową
(stałą fazową). Stałe A i φ są wyznaczone przez warunki początkowe. Na przykład dla φ = π/2 otrzymujemy rozwiązanie ( 2 ).
Równania ( 2 ), ( 4 ) i ( 5 ) opisują kolejno położenie, prędkość i przyspieszenie w funkcji czasu. Zależności te są pokazane na
poniższym rysunku.
Rysunek 2: Wykres zależności x(t), v(t), a(t) dla prostego ruchu harmonicznego
Zwróćmy uwagę, że wychylenie z położenia równowagi x(t) oraz przyspieszenie a(t) (a tym samym siła) osiągają równocześnie
maksymalne wartości, przy czym zwroty wektorów x(t) i a(t) są przeciwne (równanie( 3 )) i stąd przeciwne znaki. Natomiast
prędkość v(t) jest przesunięta w fazie (względem położenia) o π/2 co odzwierciedla fakt, że prędkość osiąga maksimum przy
przechodzeniu oscylującej masy przez położenie równowagi, a jest zerowa przy maksymalnym wychyleniu gdy ciało zawraca.
Odpowiednie maksymalne wartości położenia, prędkości i przyspieszenia wynoszą
xmax = A
vmax = Aω
(8)
amax = Aω2
Wartości funkcji sinus i cosinus powtarzają się gdy kąt zmienia się o 2π. Oznacza to, że funkcje x(t), v(t) i a(t) przyjmują taką samą
wartość po czasie t = 2π/ω. Ten czas jest więc okresem ruchu T. Uwzględniając zależność ( 6 ) otrzymujemy
T=
2π
ω
−−
= 2π√ mk
Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A. Ta właściwość drgań harmonicznych
została wykorzystana w konstrukcji zegara wahadłowego.
Film ilustrujący ruch drgający
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=32
Ruch drgający
(9)
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1388
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1145
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-07-22 08:30:31
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=fdd3e726a4aac7bab02d95718c1fe058
Autor: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha