Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw V ftims, pg 1

Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw V
1. Korzystając z jawnej postaci operatorów anihilacji i kreacji oscylatora harmonicznego
r
r
mω
mω
1
1
†
p̂,
â =
p̂
x̂ + i √
x̂ − i √
â =
2~
2~
2mω~
2 mω~
ftims, pg
(*)
(a) pokaż, że [â, ↠] = 1,
(b) pokaż, że operator kreacji ↠nie posiada normowalnych funkcji własnych,
(c) wyznacz wartości własne oraz unormowane funkcje własne operatora anihilacji â.
2. Korzystając z operatorów â oraz ↠podanych w zadaniu (1) pokaż, że hamiltonian oscylatora harmonicznego
p̂2
H = 2m
+ 12 mω 2 x̂2 można zapisać w postaci H = ~ω ↠â + 21 .
3. Korzystając z operatorów â oraz ↠wyznacz dozwolone poziomy energetyczne oraz funkcje falowe kwantowomechanicznego oscylatora harmonicznego.
4. Niech N̂ = ↠â. Pokaż, że wartości własne n operatora N̂ są rzeczywiste oraz spełniają nierówność n ≥ 0. Jakie
konsekwencje dla energii oscylatora posiada ta nierówność?
5. Wyznacz wartości średnie operatorów x̂, p̂, x̂2 , p̂2 oraz nieoznaczoności pomiaru położenia i pędu oscylatora
harmonicznego w
(a) stanach stancjonarnych |ni, dla dowolnego n,
(b) stanie niestacjonarnym postaci:
√1 |ni
2
+
√1 |n
2
+ 1i.
Dla jakiego stanu stacjonarnego iloczyn nieoznaczoności położenia i pędu przyjmuje najmniejszą możliwą wartość
równą ~2 ?
6. Wykorzystując zasadę nieoznaczoności ∆x∆p ≥
latora harmonicznego.
~
2
oszacuj najmniejszą wartość jaką może przyjąć energia oscy-
7. Niech {|ni} jest bazą utworzoną z unormowanych wektorów własnych |ni hamiltonianu oscylatora harmonicznego. Wyznacz jawną postać macierzową operatorów â oraz ↠w tej bazie.
8. Udowodnij, że operatory â i ↠spełniają następujące relacje
n n−1
(a) â, â†
= n â†
,,
† n
n−1
(b) â , â = −nâ
,
(c) [↠â, (↠)n ] = n(↠)n
†
†
(d) [↠â, eâ ] = ↠eâ ,
(e) h0|ân (↠)n |0i = n!, gdzie |0i jest stanem próżni oscylatora harmonicznego.
9. Niech f (â), g(↠) są rozwijalnymi w szereg funkcjami operatorów, odpowiednio, â i ↠. Pokaż, że spełnione są
związki komutacyjne
†
∂f (â)
â , f (â) = −
,
∂â
10. Pokaż, że prawdziwe są relacje
†
†
(a) eiλâ â â e−iλâ
â
†
†
(b) eiλâ â ↠e−iλâ
= e−iλ â,
â
= eiλ ↠,
(c) ezâ ↠e−zâ = ↠+ z,
†
†
(d) ezâ âe−zâ = â − z,
n
(e) ezâ ↠e−zâ = (↠+ z)n ,
†
†
(f) ezâ ân e−zâ = (â − z)n ,
1
∂g(↠)
â, g(↠) =
.
∂â†
Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw V
ftims, pg
gdzie λ, z ∈ R.
11. Niech D(z) jest operatorem postaci:
†
D(z) = ezâ
−z ∗ â
z = const. ∈ C
,
Pokaż, że wektor |zi = D(z)|0i, gdzie |0i jest stanem próżni oscylatora harmonicznego
(a) ma postać
−
|zi = D(z)|0i = e
|z|2
2
∞
X
zn
√ |ni,
n!
n=0
(b) jest stanem własnym operatora anihilacji a z wartością własną z, tzn. spełnia równanie: a|zi = z|zi.
Operator D(z) jest nazywanym operatorem przesunięcia, a stany |zi stanami koherentnymi.
12. Wykaż poprawność następujących relacji
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
D† (z)D(z) = 1,
[a, D(z)] = zD(z),
[a† , D(z)] = z ∗ D(z),
D† (z)aD(z) = a + z,
D† (z)a† D(z) = a† + z ∗ ,
D† (z)a2 D(z) = (a + z)2 ,
2
(g) D† (z)a† D(z) = (a† + z ∗ )2 ,
13. Pokaż, że wartosci oczekiwane operatorów n̂ oraz n̂2 , gdzie n̂ = ↠â jest operatorem liczby cząstek, w stanie
koherentnym są równe odpowiednio: hz|n̂|zi = |z|2 oraz hz|n̂2 |zi = |z|4 + |z|2 . Wyznacz nieoznaczoność liczby
cząstek w stanie koherentnym |zi.
14. Wyznacz wartości oczekiwane operatorów x̂, p̂, x̂2 oraz p̂2 w stanie koherentnym |zi, a następnie pokaż, że stan
|zi dla dowolnego z minimalizuje zasadę nieoznaczoności Heisenberga, tzn. spełnia równanie ∆x∆p = ~2 .
15. Czy energia i pęd oscylatora harmonicznego są wielkościami jednocześnie mierzalnymi? Odpowiedź uzasadnij
odpowiednim rachunkiem oraz porównaj z przypadkiem układu kwantowego w postaci cząstki swobodnej.
16. Wykorzystując twierdzenie wirialne pokaż, że średnia energia oscylatora harmonicznego określona jest równaniem: E = mω 2 hx̂2 i.
17. Niech T̂ i V̂ są operatorami odpowiednio energii kinetycznej i potencjalnej oscylatora harmonicznego. Pokaż,
że wartość oczekiwana różnicy obu operatorów spełnia następujące równanie ruchu:
d2 hT̂ − V̂ it
+ 4ω 2 hT̂ − V̂ it = 0.
dt2
Odpowiedzi i komentarze
(1) Ponieważ operatory â oraz ↠nie są hermitowskie (co łatwo sprawdzić korzystając z ich jawnej postaci podanej
w treści problemu) to ich wartości własne w ogólności są zespolone (a nie rzeczywiste, jak w przypadku operatorów
hermitowskich). Aby pokazać, że operator ↠nie posiada unormowanych funkcji własnych należy rozwiązać równanie
własne: ↠ψµ (x) = µψµ (x), gdzie µ ∈ Z i pokazać, że jego rozwiązanie nie jest całkowalne z kwadratem (nie spełnia
warunku unormowania).
~
(5a) hx̂in = hp̂in = 0; hx̂2 in = 2mω
(2n + 1); hp̂2 in = ~mω
2 (2n + 1); Dla stanów stacjonarnych |ni spełnione jest
q
√
~(n+1)
~
~
równanie: ∆x∆p = 2 2n + 1 ≥ 2 ; (5b) hx̂i =
2mω ; hp̂i = 0.
q
√
2
~
2~
2
(14) hx̂iz =
2~mω Im(z); hp̂2 iz = ~mω
4Im2 (z) + 1 ; Iloczyn
mω Re(z); hx̂ iz = 2mω 4Re (z) + 1 ; hp̂iz =
2
nieoznaczoności pomiaru położenia i pędu dla stanów koherentnych spełnia równanie ∆x∆p = ~2 , czyli przyjmuje
najmniejszą dopuszczalną przez zasadę nieoznaczoności Heisenberga wartość równą ~2 . Wiadomo, że w ogólności
mamy: ∆x∆p ≥ ~2 . Uwaga: zasadę nieoznaczoności minimalizuje też stan próżni |n = 0i, który jest przykładem
szczególnym stanu koherentnego dla z = 0, tzn. |0i = D(0)|0i.
2