RUCH DRGAJĄCY

RUCH DRGAJĄCY
1
Przykłady ruchu drgającego
ruch huśtawki
drgania strun w instrumentach muzycznych
ruch wahadła zegara mechanicznego
Układ wejściowy anteny radiowej AM
drgania szyb okiennych przy hałaśliwej ulicy
drgania napięcia w obwodach prądu zmiennego
ruch ciężarka wiszącego na sprężynie
2
OSCYLATOR HARMONICZNY
• Siła wprawiająca ciało w ruch drgający (siła quasi-sprężysta) i równanie ruchu
0
F = −kx(t )
0
x
F = ma
m
d 2x
m 2 = − kx
dt
d 2x
m 2 + kx = 0
dt
d 2x k
+ x=0
dt 2 m
k – współczynnik sprężystości;
m – masa oscylatora;
a – przyspieszenie
x
• Równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego jest równaniem
Oscylator harmoniczny prosty
• Częstość drgań nie zależy
od amplitudy.
• Zmiany stanu oscylatora
podlegają zasadzie
superpozycji.
różniczkowym drugiego rzędu. „Odgadnięte” rozwiązanie równania posiada
postać: x = A sin( ω 0 t + ϕ)
Oznaczenia:
A – amplituda drgań, ω0 – częstość kołowa drgań własnych oscylatora, ϕ - faza początkowa
drgań, t – dowolnie wybrana chwila czasu , T – okres drgań
T=
2π
ω0
Rozwiązaniem równania może być również funkcja cosinus oraz kombinacja liniowa obydwu tych funkcji.
3
• Prędkość oscylatora
dx
= v = Aω 0 cos(ω 0 t + ϕ )
dt
d 2x
2
• Przyspieszenie oscylatora 2 = a = − Aω0 sin(ω0 t + ϕ )
dt
• Z równania ruchu, do którego podstawiamy wzory na x i przyspieszenie można wyznaczyć związek
pomiędzy częstością kołową drgań własnych oscylatora a jego własnościami fizycznymi (masa,
współczynnik sprężystości)
k 2π
=
= 2πν 0
m T
ω0 =
ν0 =
1
T
ν0 – zwykła częstość drgań (liczba powtórzeń tego
samego położenia ciała w jednostce czasu).
Zależność położenia, prędkości i
przyspieszenia w ruchu harmonicznym od czasu. W momentach,
gdy wychylenie z położenia równo,
wagi jest maksymalne
prędkość jest równa zeru, natomiast
przyspieszenie ma wartość maksymalną, a znak przeciwny do wychylenia.
4
ŚREDNIA ENERGIA KINETYCZNA I POTENCJALNA OSCYLATORA HARMONICZNEGO PROSTEGO
1T
• Definicja wartości średniej wielkości okresowo zmiennej q(t): < q >= ∫ q( t )dt , q(t) – wartość chwilowa
T0
Energia kinetyczna
Chwilowa wartość
1
1
E k (t ) = mv 2 = m(ω 0 A cos ω 0 t ) 2 , ϕ = 0
2
2
Średnia wartość
1
< E k >= ∫ E k (t )dt
T 0
Energia potencjalna
(praca siły sprężystości)
x
1
E p = L = ∫ kxdx = kx 2
2
0
T
T
1
1
1
2
< E p >= ∫ E p (t )dt = kx 2 = mω 0 A 2
4
4
T 0
Podstawiając z = ω0t wykonujemy całkowanie
1
1
2
< E k >= mω 0 A 2
2
2π
2π
1
2
2
=
cos
zdz
mω 0 A 2
∫0
4
Średnia wartość energii kinetycznej oscylatora harmonicznego prostego jest równa
średniej wartości jego energii potencjalnej < E k >=< E p >
1
2
2 2
Energia całkowita oscylatora i prawo zachowania energii E =< E k > + < E p >= mω 0 A = const
5
OSCYLATOR HARMONICZNY TŁUMIONY (DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE)
• Oprócz siły quasi-sprężystej na oscylator harmoniczny działa siła tarcia proporcjonalna w każdej chwili
do prędkości ciała i przeciwnie do niej skierowana
r r
T ~ v (t )
T = − fv = − f
dx
dt
• Równanie ruchu
d 2 x f dx k
+
+ x=0
dt 2 m dt m
d 2x
dx
m 2 = −kx − f
dt
dt
Równanie różniczkowe drugiego rzędu – jak rozwiązać?
Pierwszy etap rozwiązania
d 2 x f dx
=0
Na cząstkę działa tylko siła tarcia. Postać równania ruchu: 2 +
m dt
dt
Czas relaksacji: τ =
m
f
Współczynnik tłumienia: β =
1
τ
6
Inny sposób zapisu równania ruchu:
dv 1
+ v=0
dt τ
dx
=v
dt
dv
dt
=−
τ
v
Całkujemy równanie obustronnie dla warunków początkowych: v=v0 dla t=0
v
t
1
dv
=
−
∫v v τ ∫0 dt
0
ln v − ln v 0 = −
t
τ
v = v0 e
−
t
τ
Prędkość tłumiona jest ze stałą czasową τ.
(e = 2.7 podstawa logarytmów naturalnych)
v
vo
vo / e
0
τ
t
Zmiana prędkości ciała, na które działa siła
tarcia, w funkcji czasu.
7
SPADANIE CIAŁA W CIECZY LEPKIEJ
Na ciało działa siła ciężkości (mg), siła wyporu (W) i siła tarcia (T=-fv)
F = mg − W = const
W
T
Równanie ruchu ciała:
mg
x
F
dv
f 
= − v − 
m
dt
m
Rozwiązanie równania ruchu dla warunków początkowych: t=0, v=v0
F 
F
 t
v = +  v0 −  exp − 
f 
f 
 τ
v
m
τ=
f
t →∞
v → v gr =
F
f
Ciało osiąga tę samą wartość prędkości granicznej przy dwóch różnych
vo ≠ 0
wartościach prędkości początkowej. Po osiągnięciu prędkości granicznej,
ciało porusza się praktycznie ruchem jednostajnym z prędkością vgr.
vgr
0
Energia kinetyczna ciała tłumiona jest ze stałą czasową τ.
vo = 0
t
v = v0 e
t
(− )
τ
2t
(− )
1
E k = mv 2 = E k 0 e τ
2
Ek 0 =
1
2
mv 0
2
Inaczej – z działaniem na ciało siły tarcia związane jest rozpraszanie energii ciała.
8
Drugi etap rozwiązania
d 2 x 1 dx
2
+ ω0 x = 0
Na oscylator harmoniczny działa siła tarcia. Równanie ruchu ma postać: 2 +
τ dt
dt
Częstotliwość drgań własnych: ω 0 = k / m
2
Stała czasowa: 2τ =
m 1
=
f
β
− βt
Rozwiązanie równania ruchu („odgadnięte”): x = A 0 e sin ω1 t
dx d 2 x
Obliczamy , 2 podstawiamy do równania ruchu i wyznaczamy ω1
dt dt
2
ruch periodyczny oscylatora tłumionego
2
ruch krytyczny (oscylator nie wykonuje drgań)
ω0 > β 2
ω0 = β 2
2
ω0 < β 2 ruch aperiodyczny (nieokresowy)
9
OSCYLATOR PERIODYCZNY TŁUMIONY
ENERGIA UKŁADU DRGAJĄCEGO TŁUMIONEGO
Rozwiązanie równania ruchu:
Energia całkowita
x = A0 e
(−
t
)
2τ
t
E =< E k > + < E p >= E 0 exp(− )
τ
1
2
2
E 0 = mω 0 A 0
2
sin(ω1t + ϕ )
ω1 = ω 0 2 − (
2π
1 2
2
) = ω 0 − β 2 T1 =
ω1
2τ
ω1 – częstość drgań tłumionych
Straty energii
x
Ao
ϕ=0
A (t) = Ao e –t/2τ
układu P(t): P( t ) = −
t
0
Szybkość strat energii jest równa stracie mocy
dE( t )
E
=−
dt
τ
Współczynnik dobroci (dobroć układu)
Ao
T1 = 2 π/ω1
Zmiana amplitudy oscylatora
harmonicznego tłumionego
w funkcji czasu.
Q = 2π
E
PT1
Q=
E
E
= ω1 = ω1τ
P / ω1 P
Logarytmiczny dekrement tłumienia
(do porównywania własności układów drgających tłumionych)
Λ = ln
A 0 exp(− t / 2τ)
An
T
= ln
= 1 = βT1
A n +1
A 0 exp(− t + T1 ) / 2τ 2τ
10
DRGANIA WYMUSZONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
• Na układ drgający tłumiony działa zewnętrzna siła harmoniczna: F = F0 sin ωt
..
• Równanie ruchu ma postać: x +
1
τ
.
x+ ωo x =
Fo
sin ωt ,
m
2
( ωo =
k 1 f
; = = 2β )
m τ m
• Szukamy rozwiązania w postaci x = A sin(ωt + ϕ ) x& = ... &x& = ... .
Podstawiamy do równania ruchu i otrzymujemy układ równań na A i φ.
φ - przesunięcie fazowe prędkości
względem siły wymuszającej
tgϕ =
ω
τ
A - amplituda
A=
ω −ω
2
o
2
1
Fo
m
ω
(ωo2 − ω 2 ) 2 + ( ) 2
τ
• Rezonans ( ω ≈ ω o )
pierwiastek równania (*)
Gdy ω↑≠0, A↑ i φ ↑
dla ω r ≈ ω o
Warunek na maksimum amplitudy: dA/dω=0
ω r = ω o2 − β 2 = ωo2 − (1 / 2τ ) 2
dA
d
=
(
dω dω
Fo / m
ω
(ω o2 − ω 2 ) 2 + ( ) 2
τ
)=0
ω
d
[(ω o2 − ω 2 ) 2 + ( ) 2 ] = 0 (*)
dω
τ
A
tgϕ=2ωrτ
3
0
ω /ωo
ωr
β1 < β 2 < β 3
ϕ
π
dla ω = ω r
A (ω r ) =
2
(Fo τ) / m
ω o2 − (1 / 2τ) 2
1
2
3
π/2
0
1
ω11/ωo
Dla małego tłumienia (ω>>1/τ)
• Średnia moc absorbowana przez układ (średnia
praca siły wymuszającej w jednostce czasu)
< P >=
1T
∫ Fυdt
T0
• Dobroć
Q = ωo τ =
ωo
∆ω1 / 2 ;
∆ω1 / 2 =
1
= 2β ;
τ
∆ω1 / 2 - szerokość połówkowa krzywej rezonansowej
krzywa rezonansowa Lorentza
T
Fo
Fo2
< P >= ωAo ∫ sinωt ⋅ cos(ωt + ϕ)dt =
T
2m
0
ω2 / τ
ω
(ωo2 − ω2 ) 2 + ( ) 2
τ
<P>
∆ ω½
Dla obwodu drgającego LC
L- indukcyjność cewki
C- pojemność kondensatora
½ <P>
ωo
ω
Krzywa rezonansowa Lorentza
12